2024-2025学年湖南省永州市永州一中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省永州一中高三（上）8月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.的二项展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.已知直线：与圆：，则“，直线与圆有公共点”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
6.设函数已知，，且的最小值为，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，该棱锥的高为( )
A.
B.
C.
D.
8.双曲线的左、右焦点分别为、是双曲线右支上一点，且直线的斜率为，是面积为的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则( )
A. 的最小值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
10.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，无极值点
C. ，使在上是减函数
D. ，图象对称中心的横坐标不变
11.函数及其导函数的定义均为，且是奇函数，设，，则以下结论一定正确的有( )
A. 为偶函数
B. 函数的图象关于直线对称
C. 的图象关于对称
D. 设数列为等差数列，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过原点的直线与曲线，都相切，则实数 ______．
13.，，，，五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加甲选到的概率为______；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为______．
14.已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，，．
求；
设，求边上的高．
16.本小题分
如图，三棱锥中，，，，为中点．
证明；
点满足，求二面角的正弦值．
17.本小题分
设，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为．
求椭圆的方程；
若过的直线交椭圆于，两点，求证：为定值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
当时，，求的取值范围．
19.本小题分
将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
若将，，，四个数构成的数列恰有个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
计算以下数列的逆序数．
；
；
已知数列，，，的逆序数为，求，，，的逆序数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又，，
解得，
又，，
；
由可知，，
，
，
，，
设边上的高为，
则，
，
解得，
即边上的高为．
16.证明：连接，，
，为中点．
，
又，，
与均为等边三角形，
，
，，
平面，
平面，
．
解：设，
，
，，
，
，
又，，
平面，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
，
，
，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
则，令，解得，
，令，解得，，
故，，
设二面角的平面角为，
则，
故，
所以二面角的正弦值为．
17.解：设椭圆的焦距为，四边形为平行四边形，其面积设为，
则，所以，
所以，
又，
解得，，
所以椭圆的方程为．
证明：，当直线与轴重合时，的方程为，
此时不妨令，则；
当直线与轴不重合时，的方程可设为，
由，
得，，
设，，
则，，
，
，
，
综上所述，为定值．
18.解：当时，，，
，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值；
由，得，，
令，则，
当时，，且，，
所以，，
当时，，
所以在上单调递增，，
故在上单调递增，恒成立，
即的取值范围为．
19.解：由，，，构成的逆序对有，，，，，，
若第一个数为，则至少有个逆序对；
若第二个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为；
若第三个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为或；
若第四个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为或．
综上所述，符合条件的数列组合有：
，，，，．
因为为单调递减数列，
所以逆序数为．
(ⅱ)当为奇数时，，
当为偶数时，
，
所以，
当为奇数时，逆序数为：
，
当为偶数时，逆序数为：
．
在数列，，，中，若与后面个数构成个逆序对，
则有不构成逆序对，
所以在数列，，，中，逆序数为：
．
第1页，共1页