2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高三上学期开学检测数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高三上学期开学检测
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.设，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.某地区居民血型的分布为型型型型已知同种血型的人可以互相输血，型血的人可以给任何一种血型的人输血，型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血现有一血型为型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
6.函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
7.若，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.已知且，则“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数，则( )
A. 在上是减函数，且曲线存在对称轴
B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心
C. 在上是增函数，且曲线存在对称轴
D. 在上是增函数，且曲线存在对称中心
10.已知函数，实数满足若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 ．
13.某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为 ；
14.已知等比数列满足：，，，则公比 ，的最小值为 ．
15.函数的图象可能是 ．
三、解答题：本题共6小题，每小题5分，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（14分）已知函数，．
______，______；
的极小值点为______，极小值为______；
的极大值点为______，极大值为______；
画出函数的图象草图：
若方程恰好有个解，则实数______；
若在上单调，则实数的取值范围是______；
若函数存在极值，则极值点的个数可能为______写出所有可能
17.（13分）科学家发现某种特别物质的温度单位：摄氏度随时间时间：分钟的变化规律满足关系式：
若，求经过多少分钟，该物质的温度为摄氏度；
如果该物质温度总不低于摄氏度，求的取值范围．
18.（13分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的班班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽名学生进行身体素质监测经统计，每班名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数：

若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
若从高一班抽测的人中随机抽取人，从高一班抽测的人中随机抽取人，设表示这人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的概率；
假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的名学生的身体素质优秀率相等现在从每班中分别随机抽取名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀写出方差，，，的大小关系不必写出证明过程．
19.（15分）已知函数．
若曲线在点处的切线为轴，求的值；
讨论在区间内的极值点个数；
若，求证：存在两个零点，且满足．
20.（15分）已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的极值点；
当时，若函数无零点，求的取值范围．
21.（15分）首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：
；
请直接写出的所有可能值；
记，若对任意成立，求的通项公式；
对于给定的正整数，求的最大值．
参考答案
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15.
16.因为，，
所以，
，
又，令，可得，所以或，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为，
所以函数的极小值点为，极小值为．
由当时，函数取极大值，极大值为，
所以函数的极大值点为，极大值为．
由函数的单调递减区间有，，
单调递增区间有，，
由，
因为，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以函数的大致图象如下：
由可得当且仅当时，方程恰好有个解，
所以；
由，因为在上单调，
所以恒成立或恒成立，
所以或，又，
所以的取值范围是．
由，
当时，，函数在上单调递增，
所以函数没有极值点，不满足要求；
当时，方程有三个根，
设的根为，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
此时函数有个极值点，
当时，方程有两个根，其中较大根为
设的另一根为，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递减，
此时函数有个极值点，
当时，方程有一个根，
设的根为，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
此时函数有个极值点，
所以若函数存在极值，则极值点的个数可能为，．

17.解：由题意，当，则，
解得或；由，，
故经过分钟，温度为摄氏度．
由题意得对恒成立，
则由，得 ，
令，则，
，
当时，，取得最大值为．
，故的取值范围为．
18.由题意知从高一年级的班班了抽测共人，
其中身体素质监测成绩达到优秀的共有，
故估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为；
由题意可知高一班抽测的人中优秀的有人，高一班抽测的人中优秀的有人，
则表示抽测的人中身体素质监测成绩达到优秀的有人，
则；
由题意得，
由于服从两点分布，则，
，则，
，则，
，则，
故．

19.函数求导得，
因为函数在处的切线为轴，
所以，即．
函数的导函数，
若，当时，恒成立，
函数在上单调递增，即函数无极值点．
若，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
因此，为的极值点，且无极大值点．
所以当时，在内极值点个数为；
当时，在内极值点个数为．
当时，导函数，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以，
又因为，
当时，，当时，，
所以函数存在两个零点．
设，又因为，所以，
又因为，
，
所以，
所以．

20.当，，求导，则，且，
则曲线在点处的切线方程为，即．
当时，则，令则，令则
故在单调递减，单调递增，故当，取极小值．
的极小值点为，无极大值点．
当，令，则，令，则，则．
故在单调递增，在单调递减．
故当取得极小值也是最小值．
最小值为．
且，且．
若函数无零点，则，解得，即或者．
由于，则．
所以的取值范围为．

21.的值可以取．
因为，因为对任意成立，所以为单调递增数列，
即数列的偶数项是单调递增数列，
根据条件，，
所以当对成立，
下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数”，
假设数列中存在同时为非负数，
因为，
若则有，与条件矛盾，
若则有， 与条件矛盾，
所以假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负数，
此时对成立，
所以当时，，即，
所以，
，
所以，
即，其中，
即，其中，
又，，
所以是以，公差为的等差数列，
所以．
记，
由的证明知，不能都为非负数，
当，则，
根据，得到，所以，
当，则，
根据，得到，所以，
所以，总有成立，
当为奇数时，，故的奇偶性不同，则，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
考虑数列：，，
可以验证，所给的数列满足条件，且，
所以的最大值为，
当为偶数时，，
考虑数列：，，，，，
可以验证，所给的数列满足条件，且，
所以的最大值为．

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