内蒙古包头市第六中学等多校联考2025届高三上学期开学考试数学试题（含答案）

内蒙古包头市第六中学等多校联考2025届高三上学期开学考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列的 前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
3.“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.香农一维纳指数是在生物学中衡量群落中的生物多样性的一个指标，其计算公式为，其中为群落中物种总数，为第个物种的个体数量占群落中所有物种个体数量的比例．已知某地区一群落初始指数为，群落中所有物种个体数量为，在引入数量为的一个新物种后，指数( )
A.
B.
C.
D.
5.若是偶函数，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知幂函数，直线是曲线的切线，则实数( )
A. B. C. D.
7.已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则( )
A. B. C. D.
8.设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B. C. D.
10.已知等差数列的前项和为，，且，则( )
A. B.
C. 当时，取最小值 D. 当时，的最大值为
11.已知函数，则( )
A. 曲线关于点成中心对称
B. ，无极值
C. 若在上单调递增，则
D. 若曲线与轴分别交于点，，，且在这三个点处的切线斜率分别为，，，则为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，，，则的最小值为
13.写出一个同时满足下列三个条件的数列的通项公式： ；数列是递减数列；数列的前项和恒成立．
14.俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若曲线过点，求的解集；
若存在使得，，成等差数列，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有极小值，且极小值大于，求的取值范围．
17.本小题分
已知正项数列的前项和为，且．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
设函数，
证明：有两个零点；
记是的导数，为的两个零点，证明：．
19.本小题分
设，是不超过的最大整数，当时，的位数记为，例如：，．
求；注
当时，记由曲线，直线，以及轴围成的平面图形的面积为，求数列的前项和；
当，时，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.不唯一
14.
15.解：
若曲线过点，则，
所以，所以，在上单调递增，
所以不等式等价于
解得，所以不等式的解集为．
依题意，存在使得，，成等差数列，
所以存在使得，且，
即存在使得，
即存在使得，
即存在使得，
即存在使得，
而当且仅当时等号成立，
所以的取值范围是．

16.解：
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
的定义域是，
，在上单调递增，
令，解得，所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以在处取得极小值，
依题意，，
即，函数在上单调递增，且当时，，
所以．

17.解：
依题意，，，
当时，，解得，舍去．
当时，由得，
两式相减得，
即，由于，
所以，所以数列是首项为，
公差为的等差数列，所以也符合．
由得
所以
．

18.解：
由，得，即，令，
函数有两个零点，即函数有两个零点，求导得，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
又，因此使得，使得，
所以函数有两个零点．
由知函数的零点满足：，
求导得，要证，即证，即证明，
令，求导得
，
函数在上单调递减，则，由，得，
即，由，得，且在上单调递增，
因此，即，命题得证．

19.解：
，则，所以．
当时，，
表示，，以及轴围成的平面图形的面积，
所以，记，
则，
所以，
由得
，
所以．
，
当时，
，，
此时，，
所以，；
，
则有，
所以，
即．

第1页，共1页