四川省成都市第七中学2025届高三上学期入学考试数学试卷（含答案）

四川省成都市第七中学2025届高三上学期入学考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为 ．
A. B. C. D.
5.若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A. B. C. D.
6.已知定义在正实数集上的函数设、、是互不相同的实数，满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.设正四面体的棱长为则所有与此正四面体的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为( )
A. B. C. D.
8.“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在号仓，则 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.二项式的展开式中( )
A. 前三项系数之和为 B. 二项式系数最大的项是第项
C. 常数项为 D. 所有项的系数之和为
10.已知函数的图象与函数的图象重合，则( )
A.
B. 的单调区间为
C. 直线是的图象的对称轴
D. 直线是曲线的切线
11.设是非零复数，是方程的两个复根，且，则以下说法错误的是( )
A. 存在负实数，使得 B. 是负实数
C. 存在实数，使得 D. 存在实数，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列为递增数列，且，，则 ．
13. ．
14.设是的外接圆的圆心，是重心，是中线，且，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角、、的对边分别为、、，已知，．
求；
若的面积为，求．
16.本小题分
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．
求的长；
当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
小叶紫檀是珍稀树种，因其木质好备受玩家喜爱，其幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得数据如下：
数据的散点图如图所示：
为近似描述与的关系，除了一次函数，还有和两个函数可选．
从三个函数中选出“最好”的曲线拟合与的关系，并求出其回归方程保留到小数点后位；
判断说法“高度从长到所需时间超过一年”是否成立，并给出理由．
参考公式：，．
参考数据其中，：，，，，，，，，，．
18.本小题分
已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．
求椭圆的方程；
设为椭圆的左顶点，过点的直线叫椭圆于、两点，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程．
设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．
19.本小题分
已知函数，
判断的单调性．
求函数，的值域．
证明，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
由，
则有，
即，由，故，
故，又，
故；
由，，
故，
解得．

16.解：
以原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，所以，，
所以．
，当时，最小，
此时，，为中点，则，，取的中点，连接，，
则，因为，，所以，，
所以是平面与平面的夹角或其补角，
因为，，
所以，
所以平面与平面夹角的 余弦值是．

17.解：
由散点图可知，这些数据集中在图中曲线的附近，
而曲线的形状与函数的图象很相似，
因此可以用类似的表达式来描述与的关系，
即三个函数中的图象是拟合与的关系“最好”的曲线．
令，则，根据已知数据，
得，，
所以，
又回归直线经过点，所以，
所以关于的回归直线方程为，即；
说法“高度从长到所需时间超过一年”成立．
设其幼苗从观察之日起，第天的高度为，
有，解得，
第天的高度为，
有，解得，
天，
所以说法“高度从长到所需时间超过一年”成立．

18.解：
设，由的垂心为知，
故，化简得，，解得，
又因点在椭圆上，则，
因，故得，解得，
故椭圆的方程为．

如图，由知，，若直线的斜率不存在，
由对称性可得，，不合题意；
若直线的斜率为，则的方程为，
由消去得，，
显然，设，则，
于是，
，解得，，
则直线的方程为．
先来证明过椭圆上一点的切线方程为．
由椭圆可得，
当时，，求导可得：，
当时，
切线方程为，
整理为：，
两边同时除以得：．
同理可证：时，切线方程也为．
当时，切线方程为满足．
综上，过椭圆上一点的 切线方程为．
依题意，设椭圆上的点，则过点的切线方程为，
即，原点到切线的 距离为．
由椭圆的第二定义，，则，同理，
则，
故为定值．

19.解：
由题意，其定义域为
则，
因，故，故在上单调递增
考虑，
令，得，
当时，，故在上单调递减，
，从而，故．
令，，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以，在上单调递增，
，当，，故值域为．
证明，
令，，考虑函数，
只需证明：
当，，当，
其中在第二问中已经说明，只需考虑，
令，则，
故在单调递减，在上单调递增，
故，即证

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