2024-2025学年广东省高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.某公司购入了根钢管拟切割打磨为其他产品，统计钢管口径后得以下频数分布表：
钢管口径
频数
则这批钢管口径的中位数为( )
A. B. C. D.
3.已知直线，直线：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将圆：上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短为原来的，则得到的新曲线的曲线方程为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，的对边分别为，，，且，若点在边上，且平分，则( )
A. B. C. D.
7.在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是，且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为( )
A. B. C. D.
8.当时，方程在上根的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若在复平面内对应的点为，则( )
A. 的实部为 B. 的虚部为
C. D. 直线的倾斜角为
10.已知为坐标原点，点是抛物线：的焦点，过点的直线交于，两点，为上的动点与，均不重合，且点位于第一象限，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则( )
A. ： B.
C. 的最小值为 D. 面积的最小值为
11.已知函数的定义域为，则( )
A. 若，则是上的单调递增函数
B. 若，则是奇函数
C. 若，且，则
D. 若，则是奇函数或是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.函数，若的一个单调递增区间为，且，则 ______．
14.已知圆台的上、下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是______；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知内角，，所对的边分别为，，，且，，依次为等比数列的前项，设其公比为，且，．
若，求的前项和；
证明：当时，长度为，，的三条线段可以构成三角形．
16.本小题分
已知函数．
当时，若存在极大值，且存在极小值，求的取值范围；
证明：当时，，．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，．
求证：平面平面；
若，求平面与平面的夹角．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，焦距为．
求的标准方程；
若过点作直线分别交的左、右两支于，两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围．
19.本小题分
将个面上分别写有数字，，，的一个正四面体在桌面上连续独立地抛次为正整数，设为与桌面接触的数字为偶数的次数，为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率．
当时，若正四面体的质地是均匀的，求的数学期望和方差；
若正四面体有瑕疵，即．
设是抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：；
求抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率．
参考答案
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15.解：因为，所以，
由题意可知，，
所以，
所以，，
解得，，
因为，
所以，
所以．
当时，；
因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以长度为，，的三条线段可以构成三角形．
16.解：当时，，定义域为，
所以，
因为存在极大值，且存在极小值，
所以必须有两个不同的零点，
所以，
所以或，
即的取值范围是．
证明：当时，，定义域为，
所以，
当时，，，
所以，
当且仅当时，取等号，
因为无解，
所以．
17.解：证明：如图，取的中点为，连结，
因为，所以，因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
在三角形中，因为，
所以，所以，
所以，因为平面，平面，
所以，因为，平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面．
由，平面，得，，两两垂直，
分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
因为，所以，又，所以为的中点，
因为，所以，又平面，平面，
所以，因为，，平面，
所以平面，
所以平面的法向量为，
又，
设平面的一个法向量为，
所以，取，
所以平面与平面夹角的余弦值为：
，，
所以平面与平面的夹角为．
18.解：因为的离心率为，焦距为，
所以
解得，，所以，
所以的标准方程为．
由题意可设直线的斜率存在，设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
不妨设，分别在左、右位置，
联立得，
联立得，
所以，
联立得，
设，，
则，
由
得，
所以
，
所以，
又
所以的取值范围为．
19.解：因为正四面体的质地是均匀的，为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率，
所以，
进一步得，，
所以，；
证明：因为是抛正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，
所以是抛正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，
当时，当在前次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现奇数次时，第次抛掷的结果必须出现奇数，才可以保证前次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次，
所以，
当在前次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现偶数次时，第次抛掷的结果必须出现偶数，才可以保证前次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次，
所以，
由互斥事件概率的加法法则得，
，
即；
设，则，
即，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
所以抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率为．
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