2024-2025学年广东省多校联考高三（上）第一次调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省多校联考高三（上）第一次调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.曲线在原点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
4.若、、为三个集合，且有，则一定有( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则( )
A. B. C. D.
6.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为常数为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为 D.
11.麦克斯韦妖，是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于年由英国物理学家詹姆斯麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制但他无法清晰地说明这种机制他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功这是第二类永动机的一个范例而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论设随机变量所有取值为，，，且，定义的信息熵，则下列说法正确的有( )
A. 时，
B. 时，若，则与正相关
C. 若，，
D. 若，随机变量的所有可能取值为，，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是______．
13.若有，则的取值范围是______．
14.已知函数，其极大值点和极小值点分别为，，记点，，直线交曲线于点，若存在常数，使得，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，；
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
函数的定义域为．
设，求的取值范围；
若恒成立，求的范围．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
探究的最小值．
18.本小题分
年我国汽车出口跃居世界首位整车出口万辆，同比增长作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量单位：与速度单位：在的函数关系为假设电价是元．
当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？
已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用电费司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？
19.本小题分
已知，，函数．
若，求；
设记为，，，的所有零点组成的集合，，为的子集，它们各有个元素，且设，，，，，，且，证明：．
参考答案
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15.由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，
解得，，满足题意；
当时，
因为，
所以，
解得，，
综上所述，实数的取值范围为．
由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，
解得，，满足题意；
当时，
因为，
所以，解得，
或无解；
综上所述，实数的取值范围为．
16.解：，，在上单调递增，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
的取值范围为．
在上恒成立，
又，当且仅当即时取等号，
的最小值为，，即的取值范围是．
17.解：当时，，则，
由，得．
因此所求的切线方程为．
即．
由题意得的定义域为．
由，得．
当时，，则在上单调递增，故没有最小值．
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以．
18.解：由，可得，
令可得，或舍去，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低；
设司机的工资为元，
则行车的总费用为，
，
由题意知时，，得，
即司机每小时的工资为元．
19.解：根据题意有函数，
所以，
当时，，可知在内单调递减；
当时，，可知在内单调递增；
故．
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以，
故若，则；
证明：由题设可知，
由可知，，
且在内单调递减，在内单调递增；
若有两个零点，，则其中正、负各一个，
故，，，共有个零点，
即有个元素，且个是正数，个是负数，
又，各有个元素，且，故的所有元素要么属于，要么属于．
若且，则且，
故至少有个零点是正数，这与恰有个零点是正数矛盾，
同理，，也不能同为负数．
故与异号，，
由上不妨设，则，
设，则，
当且仅当，即可得时，等号成立，
可知在内单调递减，
则，即，
故，．
所以．
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