2024-2025学年山东省济宁市邹城市北大新世纪高级中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年济宁市邹城市北大新世纪高级中学高三（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. 或 D.
2.为虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量若与平行，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址如图所示的是一个陀螺立体结构图已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积单位：是( )
A. B. C. D.
6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.函数是定义在上的偶函数，且，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.李明每天：从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时分钟，样本方差为；自行车平均用时分钟，样本方差为假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则( )
A.
B.
C. 李明计划：前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划：前到校，应选择骑自行车
10.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 无最大值 B. 有唯一零点
C. 在单调递增 D. 为的一个极小值
11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线则下列结论正确的是( )
A. 曲线与轴的交点为， B. 曲线关于轴对称
C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线分别为其左、右焦点，为双曲线上一点，，且直线的斜率为，则双曲线的离心率为______．
13.已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为______．
14.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中，则维“立方体”的顶点个数是______；
定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为．
求；
若，且的周长为，设为边中点，求．
16.本小题分
设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．
Ⅰ求椭圆的方程和抛物线的方程；
Ⅱ设上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程．
17.本小题分
在底面为梯形的多面体中，，，，，且四边形为矩形点在线段上．
点是线段中点时，求证：平面；
是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设函数．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
19.本小题分
若有穷数列，是正整数，满足，，，，即是正整数，且，就称该数列为“对称数列”．
已知数列是项数为的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项．
已知是项数为其中，且的对称数列，且，构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得，，，，成为数列中的连续项：当时，并分别求出所有对称数列的前项和．
参考答案
1.
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14.
15.解：依题意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因为，所以；
依题意，，
因为，解得，
因为，
所以，
所以．
16.解：Ⅰ设的坐标为，
依题意可得
解得，，，
于是，
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为．
Ⅱ直线的方程为，由题意，设直线的方程为，
联立方程组
解得点，故，
联立方程组
消去，整理得，
解得，或，
，
直线的方程为
，
令，解得，故D，
，
又的面积为，
，
整理得，
解得，，
直线的方程为，或．
17.证明：由题意知，，，，，，
故有，易得，，，
在中，因为，
取线段中点，连接，，则，，
又因为直线平面，所以直线平面，同理直线平面，
又因为，所以平面平面，
因为直线平面，
所以平面；
解：因为四边形为矩形，则，又，
平面，平面，故BD平面，
以点为坐标原点，建立的空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，，
设，其中，
解得，故，
设平面的法向量为，
则，即，
令，故，
因为直线与平面所成的角为，
所以，，
或，
故存在点，使得或．
18.解：由题意可知，则的定义域为，
，，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
解：函数，
则，，
故．
(ⅱ)证明：函数的定义域为．
若存在，使得曲线关于直线对称，
则关于直线对称，所以，
由
．
可知曲线关于直线对称．
19.因为，，，成等差数列，，，
设前项的公差为，所以，
所以，，又数列是项数为的对称数列，
所以，，，
所以的项依次为，，，，，，，．
因为 ，，，构成首项为，公差为的等差数列，
所以，
又，，，，
所以，
所以当时取得最大值，且．
因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为，
所以这样的对称数列有：
，，，，，，，，，；
，，，，，，，，
因为，
对于，当时，；
当时，
所以，
对于，当的；
当时，
所以．
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