河北省唐山市2025届度高三年级摸底演练数学试题（含答案）

河北省唐山市2025届度高三年级摸底演练数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，则
A. B. C. D.
3.已知向量，，则在方向上的投影向量为
A. B. C. D.
4.已知函数为奇函数，则
A. B. C. D.
5.已知函数，则的值域为
A. B. C. D.
6.若锐角满足，则
A. B. C. 或 D. 或
7.若有且仅有一个使得函数取得最小值，则的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知半径为的球可以整体放入圆锥容器容器壁厚度忽略不计内，则该圆锥容器容积的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 样本数据：，，，，，，，，的方差为
D. 已知，，且与独立，则
10.已知，函数，则
A. 对任意，总存在零点
B. 当时，是的极值点
C. 当时，曲线与轴相切
D. 对任意，在区间上单调递增
11.已知双曲线：与直线：有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点，当运动时，下面说法正确的有
A. 或 B. 记点，则点在曲线上
C. 直线与两渐近线所围成的面积为定值 D. 记点，则点的轨迹为椭圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在点处的切线方程为________．
13.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，若为等腰三角形，则的离心率为________．
14.在正八面体中，任取四个顶点，则这四点共面的概率为 ；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，，．
求；
若为锐角，边上的高为，求的周长．
16.本小题分
在直三棱柱中，，，，是的重心，点在线段不包括两个端点上．
若为的中点，证明：平面；
若直线与平面所成的角正弦值为，求．
17.本小题分
已知为抛物线：上一点，经过点且斜率为的直线与的另一个交点为，与垂直的直线与的另一交点为．
若直线经过的焦点，求直线的方程；
若直线与直线关于对称，求的面积．
18.本小题分
已知数列，，．
证明：数列，为等比数列；
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知．
讨论的单调性；
若存在唯一的整数，使得，求实数的取值范围；
是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：，
所以，又，
所以，即．
由及正弦定理得，
所以，可得或．
因为角为锐角，所以由知，
从而可得，则，．
设边上的高为，，
可得，，
又，
所以的周长为．
16.解：由题意，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
所以，，为的中点，，
设平面的一个法向量为，
则取．
所以，即，
因为平面，
故平面．
依题意，设，，则，
取．
设直线与平面所成的角为，
则，，
由题意，，
解得或舍．
即．

17.解：将代入抛物线方程，
可得，即的方程为，所以，
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
设，，则，
直线，则直线，
将方程代入，得，
所以，即，
同理，，故，
又，所以，解得，
因此，，从而可得，，
于是，．
18.解：由已知，
得及，
故及，
，，
是以为首项，为公比的等比数列
是以为首项，为公比的等比数列．
由知：是以为首项，为公比的等比数列，于是，
是以为首项，为公比的等比数列，于是．
联立解得．
．
19.解：函数定义域为，，
当或时，当且时，，
所以在，上单调递增，在，上单调递减．
，，，
由得，时，．
所以，满足题设的，
即，故．
存在，且．
证明：由得：，
又，所以，当时，
当时，，
令，
所以，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又时，，，
因此，当时，
当时，，所以．
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