江苏省南通市部分校2025届高三第一学期期初调研考数学试卷（含答案）

江苏省南通市部分校2025届高三第一学期期初调研考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若为两个不同的平面，为一条直线，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则与相交 D. 若，，则
4.已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
5.若，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知平行于圆锥底面的平面将圆锥的侧面分成面积相等两部分，且原圆锥的高和底面圆的半径均为，则截得的圆台的体积为( )
A. B. C. D.
7.设函数，若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，过双曲线上一点作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于两点，若，则离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体的棱长为，则( )
A. 直线与所成的角为
B. 直线到平面的距离为
C. 直线与平面所成的角为
D. 三棱锥外接球的体积为
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数既有极大值也有极小值
B. 函数的极小值点为
C. 若函数有三个零点，则或
D. 若，则
11.已知函数的定义域为，，且不恒为，则( )
A. B. 是偶函数
C. 是奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设则_____．
13.已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，离心率为，为线段上动点，且到直线的距离之和为，则椭圆的标准方程为________．
14.已知直线与圆交于两点，若，则____．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数且
若在区间上的最大值是，求实数的值；
若函数的值域为，求不等式的实数的取值范围．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为长方形，，，分别为线段的中点，平面底面．
求证：平面；
求证：平面平面．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面为正三角形，，，．
求证：；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若函数有极小值，且极小值大于，求的取值范围．
19.本小题分
设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点，直线与的另一个交点分别为，记直线、的斜率分别为，．
证明：为定值；
直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标．
参考答案
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14.
15.解： 当 时， 舍负，
当 时， 舍负，
综上所述： 或 ；
设 ，则 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 ，所以 ，
，
所以实数 的取值范围为 ．

16.证明：连接 ，交 于点 ，连接 ．
因为底面 为长方形，所以 ， ，
因为 分别为线段 的中点，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
因为 为平行四边形的对角线，
所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
在 中，因为 ， 为 的中点，所以 ，
因为平面 底面 ，平面 底面 ， 平面 ，
所以 底面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以 ，
在长方形 中，因为 ，
，所以 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 ．

17.证明：取 的中点 ，连接 ．
在正三角形 中，因为 为 的中点，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ；
解：过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ．
在 中，由余弦定理得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
在 中， ， ，
所以 ，
所以二面角的正弦值为 ．

18.解： ，
当 时，函数 在 上单调减，在 上单调增，
当 时，函数 在 上单调减，在 和 单调增，
当 时，函数 在 上单调增，
当 时，函数 在 上单调减，在 和 单调增；
由知：若函数 有极小值，则 ，
当 时， 舍，
当 时， ，
所以 ，
当 时， ，
，
设 ，
因为 ，所以函数 在 单调增， 单调减，
且 ，
所以 ，
综上所述： 的取值范围为 ．

19.解：设 ，直线 ，
由 ，可得 ， ，
由斜率公式可得，，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以 ；
设 ，若 、、三点共线，
由
所以 ，化简得 ，
因此，由、、三点共线，得
由、、三点共线，得 ，
则 ，设直线 ，
由 ，可得 ，
，
直线过定点 ．

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