2024-2025学年北京市西城外国语学校高三上学期开学测试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城外国语学校高三上学期开学测试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
3.在一段时间内，甲去博物馆的概率为，乙去博物馆的概率为，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是( )
A. B. C. D.
4.已知，则
A. B. C. D.
5.已知数列的前项和，则是( )
A. 公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列
C. 公比为的等比数列 D. 公比为的等比数列
6.已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
A. B. C. D.
7.已知偶函数在区间上单调递减．若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，，则“”是“存在最小值”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，年为碳达峰时期，年实现碳中和，到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为常数，为了测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间则该蓄电池的常数大约为 参考数据：，
A. B. C. D.
10.若，则( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知等差数列的前项和为，则的最大值为 ．
13.已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
14.如果在区间上是单调函数，那么实数的取值范围为 ．
15.已知函数给出下列四个结论：
当时，存在最小值；
当时，存在唯一的零点；
的零点个数为，则函数的值域为；
当时，对任意，，．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知集合．
求；
记关于的不等式．的解集为，若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知等比数列满足，．
求的通项公式；
从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和．
条件：设；
条件：设．
18.本小题分
年月，因受疫情的影响，北京高中全都采用网络授课的方式进行在线教学．北京中的某老师在高一任教高一班和高一班两个班级，其中班共有学生人，班共有学生人．为了研究学生的学习主动性是否会受到疫情的影响，该名老师统计了连续天的交作业人数情况，数据如下表：
班级天
班人数
班人数
从两班所有人当中，随机抽取人，求该生在第天作业统计当中，没有交作业的概率；
在高一班的前天的作业统计当中，发现只有小明和小华两位同学，是连续天未交作业，其他人均只有一天未交作业．从高一班前天所有未交作业的人中，随机抽取人，记只有一天未交作业的人数为，求的分布列和期望；
在这次数据统计中，记高一班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，记高一班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，请直接写出，，，的大小关系．
19.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
求证：当时，；
过原点是否存在曲线的切线，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．
20.本小题分
已知函数请从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题．
条件：；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
求实数的值；
设函数，求函数的单调区间；
设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由．
21.本小题分
已知函数，其中．
当时，求曲线在点处的切线方程
当时，判断的零点个数，并加以证明
当时，证明：存在实数，使恒成立．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.因为，解得，所以，
又因为，解得或，所以，
所以；
又因为，所以
因为，
所以，
若，则，解得，
所以的取值范围是．

17.解：Ⅰ根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则，解可得，
又由，则有，
故，
Ⅱ根据题意，
若选择条件：则，此时；
若选择条件：则，
此时
．
18.解：两个班级第天应交作业的总人数为，
未交作业的人数为，
所以从两个班级所有人中，随机抽取人，其未交作业的概率为．
解：根据题意知，班前三天由人连续三天未交作业，人只有一天未交作业，
所以随机变量的可能取值为，
又人中人有种抽法，
所以，
所以的分布列为：

所以，期望为．
解：根据数据方差的性质，可得：
班交作业的人数数据的方差为，没交作业的人数数据的方差为，可得；
班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，可得，
根据表格中的数据，可得班数据的波动性更大一些，所以．

19.，
则当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故有极大值，无极小值；
令，，
则，
由，则，故在上恒成立，
故在上单调递增，
则，
即当时，；
不存在，理由如下：
假设曲线存在过原点的切线，且切点坐标为，
由，则该切线斜率为，
即该切线方程为，
即有，整理得，
，该方程无解，
故过原点不存在曲线的切线．

20.选：，
即，
所以，，
当时，上式恒成立，故；
选：，
即，
所以，故，
当时，上式恒成立，故；
选，，定义域为，
则在恒成立，
故单调递减区间为，无递增区间；
选，，定义域为，为二次函数，开口向下，
对称轴为轴，
故单调递增区间为，递减区间为；
选，在区间上的零点个数为，理由如下：
，令，解得或，
故定义域为，
在上恒成立，
故在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理可得，使得，
故在区间上的零点个数为；
选，在区间上的零点个数为，理由如下：
，令，解得，
故定义域为，
在上恒成立，
故在上单调递增，
又，当趋向于时，趋向于，
由零点存在性定理可得，使得，
故在区间上的零点个数为．

21.解：由题知，
，
，
，
故在点处的切线方程为，
即
由题，，
，
，
，
故在上单调递增，
，
故有个零点
由题，，
，
令
，
，
即在上单调递增，
，
且
，
故，使得，
即
在上单调递增，
即，单调递减，
即，单调递增，
故，
若恒成立，
只需，
即即可，
故存在实数，使恒成立．

第1页，共1页