2024-2025学年重庆市南开中学高三（上）第三次质检数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市南开中学高三（上）第三次质检
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则( )
A. B. C. D.
4.设函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数，若函数在上单调，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 或
6.设方程的两根为，，则( )
A. ， B.
C. D.
7.若，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的图像的对称轴方程为，则函数的解析式可以是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 的值域为
B. 是周期函数
C. 在单调递减
D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称
11.已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是( )
A. 函数有且仅有两个零点
B. 函数有且仅有三个零点
C. 当时，不等式恒成立
D. 在上的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
13.表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______．
14.已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列函数的导数．
为常数；
．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
对，恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
为落实关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见，完善学校体育“健康知识基本运动技能专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛校际联赛选拔性竞赛国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县区地市、省、国家五级学校体育竞赛制度某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛每人各踢一次为一轮，在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有人命中，命中者得分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得分设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．
经过轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；
若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
求，，；
规定，且有，请根据中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．
18.本小题分
函数．
讨论的单调性
若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为，求证：
盒子中有编号为的个小球除编号外无区别，有放回的随机抽取个小球，记抽取的个小球编号各不相同的概率为，求证：．
19.本小题分
已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，，且，记点的轨迹为曲线．
求的方程，并说明轨迹的形状
设点，若曲线上两动点，均在轴上方，，且与相交于点．
(ⅰ)当，时，求证：的值及的周长均为定值
(ⅱ)当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立若存在，求用，表示若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：解：由函数，
可得；
解：由函数，
可得．
16.解：当时，，，
，
令，，
，
令得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以，
所以，即，
所以在上单调递增，无单调递减区间．
，
令，
，
由知若，则当时，，
若时，则当时，，符合题意，
若时，令，得，
所以在上，单调递减，
此时，单调递减，
所以，与题意矛盾，
若时，则当时，，
此时，单调递减，
所以，与题意矛盾，
综上所述，的取值范围为．
17.解：甲命中为事件，乙命中为事件，，相互独立，，，甲的得分的可能取值为，，，
，
，
．
的分布列为：
所以，
由知，，
经过三轮踢球，甲的累计得分高于乙有四种情况：
一是三轮甲各得分，二是三轮中有两轮甲各得分，一轮得分，三是三轮中有一轮甲得分，两轮各得分，四是两轮各得分，轮得分，
，，
，，解得，
可得，，
所以是首项为，公比是的等比数列．，
所以．
18.解：的定义域为，，
对于方程，，
当，即时，，，在上单调递增，
当，即或时，方程有两个不等根，
，，而，，
所以当时，，在上恒成立，在上单调递增
当时，，或时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
由题，
，
所以要证，即证，即证，
也即证成立，
设，函数，
由知在上单调递增，且，
所以时，，所以成立，原不等式得证．
证明：由题，，
因为，，，，
所以，
又因为由知，，
取，有，即，也即，
所以．
19.解：设点，由题意可知，
即，
经化简，得的方程为，
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．
设点，，，其中，且，，
(ⅰ)由可知的方程为，，，
因为，所以，
因此，，，三点共线，且，
法一设直线的方程为，联立的方程，得，
则，，
由可知，，
所以
定值．
法二设，则有，解得，
同理由，解得，
所以定值．
由椭圆定义，得，
，，
解得，
同理可得，
所以
．
因为，所以的周长为定值．
(ⅱ)当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
根据的证明，同理可得，，三点共线，且，
法一设直线的方程为，联立的方程，
得，
，，
因为，，
所以
，
将代入上式，化简得，
法二设，依条件有，解得
同理由，解得，
所以．
由双曲线的定义，得，
根据，解得，
同理根据，解得，
所以
，
由内切圆性质可知，，
当时，常数．
因此，存在常数使得恒成立，且．

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