2024-2025学年湖南省常德市临澧一中高三（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省常德市临澧一中高三（上）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
3.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.函数是定义在上的偶函数，且，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，，，都有成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.若正实数是方程的根，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.给出下列命题，其中正确的命题有( )
A. 函数的零点所在区间为；
B. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是；
C. 函数与函数是相同的函数；
D. 若函数满足，则
11.关于函数，下列判断正确的是( )
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有个零点
C. 对不等式在上恒成立
D. 对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则实数______．
13.已知命题：，命题：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______．
14.设定义在上的函数在点处的切线方程为：，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，的面积为
．
求；
若，且的周长为，设为边中点，求．
16.本小题分
已知等差数列满足，．
求的通项公式；
设等比数列满足，，设，数列的前项和为，求的最大值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，且．
证明：平面平面；
求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
已知为圆上一个动点，垂直轴，垂足为，为坐标原点，的重心为．
求点的轨迹方程；
记中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于、两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程．
19.本小题分
已知函数，
讨论函数的单调区间
若函数有两个不同的零点，，
求的取值范围
证明：．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得 ，
因为，所以 ；
依题意，，
因为，解得，
因为，
所以，
所以．

16.解：设等差数列的公差为，则，
又，，得，
；
设等比数列的公比为，
，，，
，．
，
则
．
，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
且，，，
当时，，当时，，
当时，有最大值且最大值为．
17.解：证明：由题意可知，则，
因为，，所以，，
因为平面平面，平面平面，且，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
且，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
如图，以为原点，，分别为轴，轴正方向，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量，
则
令，得，
设平面的法向量，
则
令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
18.解：设，，则，
因为的重心，故有：，解得，，
代入，化简得，
又，故，
所以的轨迹方程为．
因为的垂心，故有，，
又，
故可设直线的方程为，
与联立消去得：，
，
设，，则，，
由，得，
，
，
，
，
解得舍去或满足
故直线的方程为．
19.解：，，，
若，，在上单调递增，
若，，，在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：若，在单调递增，
若，在上单调递增，在上单调递减
，有两个不等实根，
有两个不同的解，令，
，，在上单调递增，在上单调递减，，
易知，，，，
由得，
，要证，
即证：，即，
设，令，即证：，
即证：，
令，，
在上单调递增，得证．
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