2024-2025学年黑龙江省鹤岗市萝北高中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省鹤岗市萝北高中高三（上）月考
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.下列说法中正确的是( )
A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B. 空间向量的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 基底中的基向量与基底中的基向量对应相等
3.设复数，满足，，则( )
A. B. C. D.
4.的值是( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为( )
A. B. C. D.
6.下列结论正确的有( )
A. 若随机变量，则
B. 若随机变量，，则
C. ，，，，，，，，，的第百分位数为
D. 将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，，若，则总体方差
7.设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第个人的水桶需分钟，假设各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他她们的接水次序，使他她们的总的花费时间包括等待时间和自己接水所花费的时间最少( )
A. 从中最大的开始，按由大到小的顺序排队
B. 从中最小的开始，按由小到大的顺序排队
C. 从均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队
D. 任意顺序排队接水的总时间都不变
8.在给出的；；三个不等式中，正确的个数为( )
A. 个 B. C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的周期为，当时，的( )
A. 最小值为 B. 最大值为 C. 零点为 D. 增区间为
10.设是公比为正数等比数列的前项和，若，，则( )
A. B.
C. 为常数 D. 为等比数列
11.已知函数，下列结论正确的有( )
A. 是奇函数 B. 在上单调递增
C. 无极大值 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中所有项的系数之和为，则该展开式中的常数项是______．
13.过抛物线：的焦点的动直线交于，两点，线段的中点为，点当的值最小时，点的横坐标为______．
14.用，，，，这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有______个
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，且．
求角的大小；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数，若，求在处的切线方程．
17.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是上一点．
求的方程；
过点的直线与交于两点，，与直线：交于点设，，求证：为定值．
18.本小题分
如图，在矩形和中，，，，，记．
当时，求与夹角的余弦值；
是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知数列是各项均为正数的等差数列．
若，且，，成等比数列，求数列的通项公式；
在的条件下，数列的前和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值；
若数列中有两项可以表示为某个整数的不同次幂，求证：数列中存在无穷多项构成等比数列．
参考答案
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15.解：由正弦定理可得，，，
代入已知得，
即
即，
，
故，即，
，，
又，
；
因为，，
，
，
又，
，
即的取值范围为．
16.解：，
，
，．
在处的切线方程为：，即．
17.解：设的焦距为，则，
即，，；
由双曲线的定义，得，即，
所以，故C的方程为；
证明：设，，，
由，得，即，
由点，不重合，得，解得，．
由在上，得，
整理，得，
由在直线：上，得，即，
于是化为
同理，由，得
由得，是关于的一元二次方程的两个不等实根．
由韦达定理，得，故是定值．
18.解：因为，，，
记，
所以，且，，
由空间向量的线性运算法则，
可得
；
当时，，，
，
所以，；
假设存在使得平面，故，，
由知，，
可得，
由，得，
由，，
化简得，解得，满足条件．
故存在，使得平面．
19.解：因为，且，，成等比数列，
所以，，又因为是正项等差数列，故
所以，得或舍去，
所以数列的通项公式．
解：因为，
，
令，则，当时，恒成立，
所以在上是增函数，
故当时，，即当时，，
要使对任意的正整数，不等式恒成立，
则须使，所以实数的最小值为．
证明：因为这个数列的所有项都是正数，并且不相等，所以，
设，，其中， 是数列的项，是大于的整数，，，
令，则，
故是的整数倍，是的次幂，
所以，右边是的整数倍．
所有这种形式是数列中某一项，
因此有等比数列，其中，
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