2024-2025学年江苏省泰州市多校高三（上）暑期数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省泰州市多校高三（上）暑期数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合和逻辑用语描述了精彩的数学世界，下列说法正确的是( )
A. 随机试验的样本空间为，若，，与一一对应，则为随机变量
B.
C. 函数：的定义域是数集，值域是数集
D. 数列的本质是定义域为，值域是数集的函数
2.如图所示，点在上，向量所在直线与相切于点，向量若已知下列选项给出的量，则可以得到的选项是( )

半径
A. B. C. D.
3.设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为，，，，下列统计量中不能刻画数据与直线的“整体接近程度”的是( )
A. B.
C. D.
4.函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．下列情景可以使用指数函数模型的是( )
A. 在弹性限度内，弹簧的弹力与其形变量成正比
B. 以每年增长率递增的物价翻一倍所需的时间
C. 动物种群个体数量的瞬时变化率与个体数量成正比
D. 物体温度的瞬时变化率正比于物体与环境的温度差
5.圆与两个坐标轴都相切，可以得出的结论是( )
A. B.
C. D.
6.一只蜗牛从数轴原点出发向正方向前进个单位长度，接着后退个单位长度，然后再前进个单位长度，接着后退个单位长度，以此类推经过足够长的时间后，蜗牛将始终会在某个位置附近前后爬行，这个位置的坐标是( )
A. B. C. D.
7.下列关于随机事件的说法错误的是( )
A. 必然事件与任意事件独立 B. 不可能事件与任意事件独立
C. 两个概率大于的互斥事件可以不独立 D. 两个概率大于的独立事件可以互斥
8.已知，函数的值等于除以得到的余数，设，若存在，使得对于任意的，都不满足，则函数的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 随机变量的方差是其取值与其均值的偏差平方的期望
D. 若服从两点分布，且，则
10.平面内有一点，小明从点出发，依次到达点等于逆时针旋转后得到的向量，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 与共线，
11.函数，，的解析式分别为，，将所有的极大值点从大到小依次排列，形成数列，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 数列是以为首项的等比数列 D. 的图象在函数图象下方
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的三边分别为，边上的中线长为 ．
13.与家庭电路不同，从发电厂到用户端的高压电路只有三根火线而没有零线实际上，发电厂通常采用三相正弦交流进行发电，三根火线的瞬时电流表达式分别为，假设三根火线的电流分别进入用户端并通过一根零线流出，则零线瞬时电流 ______．
14.已知在行列的数阵中，第行第列的数为，数阵的每一列从上往下组成公差为的等差数列，每一行从左往右组成公差为的等差数列．从第行第列的数开始，沿数阵的对角线斜向上组成新的数列，该数列所有项之和为 整个数阵的所有数的总和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
计算并画出在上的大致图象．
将在上所有的极大值点以及极大值从小到大依次排列，分别组成数列和，证明：是等差数列，是等比数列．
16.本小题分
已知常数，设关于的方程．
在复数范围内求解该方程．
当时，设该方程的复根分别为，证明：
如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元次复系数多项式方程至少有一个复根．证明：有个复数根重根按重数计．
将题设的常数“”改为“”，并证明：仍然成立．
17.本小题分
以地生产的所有番茄为总体，总体中每个番茄的重量为随机变量，，其中，均为正数随机从总体中抽取个番茄作为一个样本，番茄的重量分别为，，，，其取值相互独立样本均值为．
已知对于任意的随机变量，，，，有；如果，，，的取值相互独立，则又有求及．
若，证明：是的充要条件．
18.本小题分
在多项式的运算中，二项式定理有着非常重要的作用当帕斯卡建立了正整数次幕的二项式定理之后，这个定理又被其他数学家们作了进一步的推广，其中莱布尼茨和约翰伯努利则将二项式定理推广成多项式定理．
现有个不同编号的白球，将其中个球染成红色，个球染成蓝色，个球染成黄色，求染色方案的种数．
现有个不同编号的白球，将其中个球染成红色，个球染成蓝色，个球染成黄色，且，，，，求染色方案的种数用阶乘符号表示
“”求和符号可用于求所有满足约束条件的式子的和，例如，其中，求的展开式及展开式系数和．
求展开式的项数．
19.本小题分
一条直线与另外两条异面直线同时垂直且相交，则称该直线是两条异面直线的公垂线，并把以两垂足为端点的线段称为两异面直线的公垂线段，公垂线段的长度则被称为两异面直线之间的距离．
用符号语言表述公垂线、公垂线段及两异面直线之间的距离的定义．
证明：两条异面直线的公垂线有且仅有一条．
在空间直角坐标系中，直线过点，方向向量；直线过点，方向向量，试问：与是否共面？
Ⅰ若共面，
(ⅰ)求与交点的坐标．
(ⅱ)已知，记与所确定的平面为，记与所确定的平面为，若，试问：是否确定？若确定，求出的单位方向向量；若不确定，请说明理由．
Ⅱ若异面，
(ⅰ)请给出证明．
为与的公垂线，，求与之间的距离．
(ⅲ)求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，因为，
由得到，由，得到或，
所以的单调性如下表所示：
的图象如下图所示：
由于当时，；
当时，；
当时，，
因此是极大值点．
将极大值点从小到大依次排列，形成数列，得，
，
因此是以为首项，为公差的等差数列．
极大值为；
将极大值从小到大依次排列，形成数列，得，．
因此是以为首项，为公比的等比数列．
16.解：当时，方程有无数个根，所有根组成的集合是；
当时，方程无根；
当，时，方程的根为；
当时，配方得．
当时，方程有两个实根
．
当时，方程化为，
由于，因此．
由于，因此，
故方程有两个复根．
如果认为，然后把两种情况合并成一种情况，则不正确．因为我们只曾定义过，但从来没有规定过，而也不能推出这是因为开方这种运算本身仅对非负实数而言，对负数是没有意义的．
就算，那为什么不是？我们从来没定义过对负数开根是什么概念，更没有规定过根号下有负数时的运算规则．
再次强调：不是，“”不能写成“”，仅仅只是人为规定的一个抽象的数，它满足．
当时，
当时，根据复数的运算法则，得
一元次复系数多项式方程至少有一个复根，
不妨设该方程的一个复根为，则必然能够分解出一个因式，即．
由复数的运算法则可知，方程是一元次复系数多项式方程．
不妨设该方程的一个复根为，则必然能够分解出一个因式，即．
重复该过程，最终，
其中为常数，显然有个复数根重根按重数计．
由得复系数二次方程有两个复数根，分别设为，则原方程可化为，
即，
和原方程比较系数，得，
即．

17.解：由题意得．
，，，的取值相互独立，
故．
证明：下面的不等式变换完全等价：
即，
，
，
，
故是的充要条件．
18.解：染色方案总数为．
染色方案总数为．
由于的次数是，因此的每一项都是次项，即每一项中，，，的指数和为．
不妨设展开式通项为，其中，，，，．
而就当于“现有个不同编号的白球，将其中个球染成颜色，个球染成颜色，，个球染成颜色”的染色方案的种数，即
．
因此的展开式为
令，得展开式系数和
展开式的项数相当于方程的非负整数解的个数，
也相当于“将个相同的球放进个不同的盒子盒子可空”的方案数．
用两条竖线“”表示一个盒子，用一个圆圈“”表示一个球．
例如“”表示有两个盒子，其中一个盒子有个球，另一个盒子有个球．
则情景等价于：将竖线和圆圈排成一列，两端各一条竖线，中间条竖线和个圆圈自由排列，求排列情况种数．
设两端竖线之间共有个位置，选个位置用来放圆圈，剩余位置放竖线，情况数为，
即展开式项数为．
19.解：设两条直线分别为和，且对于任意平面或．
若，则称为与的公垂线．
线段为与的公垂线段，线段的长度为与之间的距离．
反证法假设的另外一条直线也是两条异面直线与的公垂线，
不妨设．
平移得到，使得，则且．
记与所决定的平面为．
由于，故，又因为，且，故．
由于，故，又因为，且，故．
又因为，所以，故与共面，与题设矛盾．
所以两条异面直线与的公垂线是唯一的，有且仅有一条．
异面．
(ⅰ)证明：反证法假设与共面，设面的法向量．
分别平移，使起点分别落在点和点处，则均在面内．
于是且，得即取．
显然在面内，故，得，但，
，
与矛盾，故与异面．
(ⅱ)平移得到，使得设与所确定的平面为．
因为，所以，又因为，所以，即．
故与之间的距离，即线段的长度等于点到面的距离．
因为与异面，所以，又因为，所以．
所以点到面的距离等于点到面的距离．
而点到面的距离，
故与之间的距离为．
(ⅲ)因为与异面，所以与平面记作面相交，而非在面内．
因此对于起点在点处的，只存在唯一的，使得的终点落在面内．又因为，故．
，
设面的法向量为，由于，故的法向量，
而与均在面内，故，且，即，
所以即取．
因为在面内，所以，得．
，
，
故，解得，
．

第1页，共1页