2024-2025学年山东省青岛市青岛二中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年山东省青岛二中高三（上）月考
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查名同学在某周周日校园跑的时长单位：分钟，得到统计数据如下：，，，，，，则该组数据的中位数和平均数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.已知为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知锐角，满足，则( )
A. B. C. D.
6.过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行四边形中，，，，为边上异于端点的一点，且，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：，则( )
A. 的取值范围是
B. 时，的渐近线方程为
C. 的焦点坐标为，
D. 可以是等轴双曲线
10.下列函数中，存在数列使得，，和，，都是公差不为的等差数列的是( )
A. B. C. D.
11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 是以为周期的周期函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，的系数为______．
13.已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为 ．
14.将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解如，其中即为的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前项的和为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角、、的对边分别为、、，且．
求；
若，且，则的面积为，求、．
16.本小题分
已知直线交抛物线于，两点，为的焦点，且．
证明：
求的取值范围．
17.本小题分
如图，点为正四棱锥的底面中心，四边形为矩形，且，．
求正四棱锥的体积；
设为侧棱上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值
18.本小题分
某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为等品，其它产品称为等品现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率保留小数点后面两位有效数字
同一组中的数据用该组区间的中点值代表参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，
从样本的质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望
(ⅱ)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按件一箱包装已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大．
19.本小题分
定义：若对于任意，数列，满足：，其中的定义域为，，，则称，关于满足性质．
请写出一个定义域为的函数，使得，关于满足性质
设，若，关于满足性质，证明：
设，若，关于满足性质，求数列的前项和．
参考答案
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10.
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13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理得，
所以，
可得，
因为，所以，
所以，
因为，所以
由，所以，
又由余弦定理可得，
所以，
由，解得：或
因为，故本题的答案为．

16.证明：由题意联立得，
．
解：设，，
由得，，
，，，
即，即，
整理得，
将，代入并整理得，，，
，且，解得或．

17.解：由已知可得，
注意，故底面正方形的边长为，
所以正四棱锥的体积．
设为原点，，，分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
易得，，，，，
设平面的一个平面向量，则，即，
又，，
即，可得，可得，
由题意可得，
设，则，
则有，
故E，从而，
所以，，
设直线直线和平面所成角为，
则，
故直线和平面所成角的正弦值为．
18.解：由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为：
．
即
，所以∽，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以
，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为．
，所以所取样本的个数为件，
质量指标值在的芯片件数为件，
故可能取的值为，，，，相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
所以的数学期望．
设每箱产品中等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由知：每箱零件中等品的概率为，
所以∽，所以，
所以
令
得，，
又，，递增，，递减，
所以当时，取得最大值．
所以当时，每箱产品利润最大．
19.解：注：所有的定义域为的偶函数均符合题意．
证明：因为，所以，
移项得．
因为，所以，故，．
由基本不等式，当且仅当时取到等号，
而，故，即．
解：由题意，，
故，
设，
则，
故在上单调递增，而，
故时，，时，，
因此在上单调递减，在上单调递增．
不妨设，因为，所以当时，，
当或时，，且时，，时，，
故对于任意，方程有且只有两个不同的根，，
又，故的图象关于对称，故，
因此数列的前项和为．
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