2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，为正实数，且满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.在四面体中，平面平面，，且，则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
4.若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.下列说法错误的是( )
A. 若随机变量、满足且，则
B. 样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C. 当时，若事件、相互独立，则
D. 若、两组成对数据的相关系数分别为，，则组数据的相关性更强
6.如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，是的极大值点
D. ，是的极小值点
7.已知函数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数的图象和性质，叙述正确的有( )
A. 是上的奇函数
B. 值域为
C. 将图象向右平移个单位，则所得函数图象关于轴对称
D. 当时，有两个零点
10.已知圆锥的侧面积为，底面圆的周长为，则( )
A. 圆锥的母线长为
B. 圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
C. 圆锥的体积为
D. 沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为
11.已知定义在上的函数，对任意，有，其中；当时，，则( )
A. 为上的单调递增函数
B. 为奇函数
C. 若函数为正比例函数，则函数在处取极小值
D. 若函数为正比例函数，则函数只有一个非负零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，其中是虚数单位，则 ______．
13.一个盒子中装有张卡片，卡片上分别写有数字、、、，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于的概率是______．
14.若定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得为常数，则称与具有关系已知函数，，且与具有关系，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得分，负者得分，且比赛中没有平局根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．
经过局比赛，记甲的得分为，求的分布列和期望
若比赛采取局制，试计算局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．
16.本小题分
如图，平面，在平面的同侧，，，，．
若四点在同一平面内，求线段的长；
若，平面与平面的夹角为，求线段的长．
17.本小题分
全球新能源汽车产量呈上升趋势以下为年全球新能源汽车的销售量情况统计．
年份
年份编号
销售量百万辆
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
求变量与的样本相关系数结果精确到；
求关于的经验回归方程，并据此预测年全球新能源汽车的销售量．
附：经验回归方程，其中，样本相关系数．
参考数据：，，，．
18.本小题分
已知函数．
证明：，总有成立；
设，证明：．
19.本小题分
图是一个阶的杨辉三角：
求第行中从左到右的第个数；
在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为：：？若存在，试求出这三个数：若不存在，请说明理由．
杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关如：从第行开始，除了以外，其它每一个数是它肩上的二个数之和；请尝试证明：当，，，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意，得的取值可能为，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为
故的期望．
第局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：甲获胜局，甲获胜局，
所以所求概率为．
16.解：，面，平面，
平面，
，则四点共面，
平面，平面，平面平面，
，又，则四边形是平行四边形，
；
因为平面，而，平面，故，，
而，
故以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
由，得
令，可得，可得，
设是平面的一个法向量，
由，得
令，可得，可得，
依题意，
解得，．

17.解：因为，，
所以，，
所以；
由题意得，
所以，
所以关于的经验回归方程为，
所以可以预测年全球新能源汽车的销售量为百万辆．
18.解：证明：令，则因为，，，，
，
即为，
则，
又令，则，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以时，，在上单调递减，
所以，
即，总有成立；
证明：由知，
即对任意的恒成立．
所以对任意的，有，
整理得到：，
故，
故不等式成立．
19.解：第行中从左到右的第个数为：．；
设第行的第，，三个相邻的数之比为：：，则，
．
所以这个数是：，，，即，，．
证明：当时，结论显然成立；
当时，，，，，．
由题意：．
所以，，，，，
因此
．
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