2024-2025学年福建省福州市永泰县言蹊高三（上）第七次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省言蹊高三（上）第七次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，集合由全体合数组成，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线：的一条渐近线方程为，且双曲线经过点，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：
若，，则；
若，，则；
若，，则；
若，，则．
其中正确的命题是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.用“作切线”的方法求函数零点时，若数列满足，则称该数列为言蹊数列若函数有两个零点和，数列为言蹊数列设，已知，的前项和为，则( )
A. B. C. D.
7.如图，将圆柱的下底面圆置于球的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球的内壁相接球心在圆柱内部，已知球的半径为，，则圆柱体积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，则存在，使得( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某中学的高中女生体重单位：与身高单位：具有线性相关关系，根据一组样本数据，由最小二乘法近似得到关于的回归直线方程为，则下列结论中正确的是( )
A. 该回归直线必过点
B. 与是负相关的
C. 若该中学某高中女生身高增加，则其体重约增加
D. 若该中学某高中女生身高为，则其体重必为
10.在锐角中，，角、、对边分别为，，，则( )
A.
B.
C.
D. 若上有一动点，则最小值为
11.对于实数，下列错误的是( )
A. 在直线上是到距离为的充要条件
B. 若，，，则最大值是
C. 如果存在一个定义在上的函数满足，那么必存在一个数，使得函数对所有有理数均成立
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ______．
13.已知函数，其处的切线是函数在处的切线，则函数恒过定点 ．
14.已知椭圆的右焦点与抛物线焦点重合，是椭圆与抛物线的一个公共点，，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面且，为中点．
求证：；
求二面角的正弦值；
求点到平面的距离．
16.本小题分
已知正项数列中且，其中为数列的前项和．
求数列的通项公式；
若是和的等比中项，求值；
令，求数列前项和．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的最小值；
若，求的取值范围．
18.本小题分
某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为、、，从该工厂生产的产品中随机抽取件，设其中一等品的数量为，二等品的数量为．
若，已知的数列期望，的方差，求的值．
若，且服从二项分布已，求的值．
已知，，在抽取的件商品中，一等品和二等品的数量之和为求当为何值时，的数学期望取得最大值？
19.本小题分
对于求解方程的正整数解的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法例如已知是方程的一组正整数解，则，将代入等式右边，得，变形得：，于是构造出方程的另一组解重复上述过程，可以得到其他正整数解进一步地，若取初始解时满足最小，则依次重复上述过程可以得到方程的所有正整数解已知双曲线的离心率为，实轴长为．
求双曲线的标准方程
方程的所有正整数解为，且数列单调递增．
求证：始终是的整数倍
将看作点，试问的面积是否为定值若是，请求出该定值若不是，请说明理由．
参考答案
1.
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8.
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13.，
14.
15.证明：取中点，连接，由，得，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，过作，由，得，，
而，平面，则，，
以为原点，直线，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图：
由，，
得，
中点，则，
因此，即，
所以；
解：由知，，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，
令，得，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，
令，得，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的正弦值为．
解：由知，，
平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
16.解：在数列中，
又，且，
两式相除得，
又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
所以，
当 时，，
当时，，也满足上式，
所以数列的通项公式为；
由得，，
因为是和的等比中项，
所以，即，
解得舍去；
因为，
所以数列前项和
．

17.解：由题意知：时，，
则，令，则，
令，则，
则在上单调递增，
即，所以，
所以，当且仅当时取得等号，
所以在上单调递增，
又，则当时，有，当时，有，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，所以的最小值为．
易知定义域为，则，
即恒成立，
令，则有，
令，则，
当时，有，当时，有，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
即使得，又，
故要满足题意有或恒成立，
由得，
若，恒成立，则单调递减，
且时，，时，不满足题意；
若，则令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
当时，，不存在恒成立的情形，
故有，即，所以；
综上所述的取值范围为．
18.解：由题意知，
则，
解得；
由，则，
由得，，
化简可得，即，解得；
由题意知，，又，，
所以，则，
当增大时，也增大，所以，当，，故的数学期望没有最大值．
但在实际情境中，的取值是有限的，比如取工厂的总产量时，取最大值．
19.解：由题意知，解得
则，
故双曲线的标准方程为；
证明：
在循环构造中，对任意正整数，由，是正整数，第组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分，注意到二项式的展开式中不含的部分与二项式的展开式中不含的部分相同，二项式的展开式中含的部分与二项式的展开式中含的部分互为相反数，于是由二项式定理有
，，
从而，
于是对任意的正整数，
，
因为是正整数，所以是的整数倍；
，，设，的夹角为，
则的面积
，
由，
得，则，
代入得
，
，
由得，
从而，
故，
，
，
，，，
，即，
代入得，
于是的面积为定值．
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