2024-2025学年湖南省邵阳二中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省邵阳二中高三（上）月考
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若非空集合，满足，为全集，则下列集合中表示空集的是( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知函数的定义域是，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.下列求导数计算错误的是( )
A. B.
C. D.
5.苏格兰数学家纳皮尔发明的对数及对数表如表，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间即就是任何一个正实数可以表示成，则，这样我们可以知道的位数已知正整数是位数，则的值为( )
A. B. C. D.
6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客你认为顾客购得的黄金( )
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长．
A. 等于 B. 小于 C. 大于 D. 不确定
7.如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 有一个零点
B. 的极小值为
C. 的对称中心为
D. 直线是曲线的切线
10.设点是所在平面内一点，是平面上一个定点，则下列说法正确的有( )
A. 若，则是边上靠近的三等分点
B. 若，且，则直线经过的垂心
C. 若，且，，，则是面积的一半
D. 若平面内一动点满足，且，则动点的轨迹一定通过的外心
11.设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有个零点，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于直线对称
B. 在上，方程的根有个，方程的根有个
C. 在上单调递增
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.出入相补是指一个平面或立体图形被分割成若干部分后面积或体积的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为 ．
13.某时钟的秒针端点到时钟的中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转当时间时，点与钟面上标“”的点重合，将，两点的距离表示成的函数，则 ，其中．
14.如图，在边长为的正方形中，为的中点，点在正方形内含边界，且．
若，则的值是______；
若向量，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求的值；
若，点是线段上的一点，，，求的值．
16.本小题分
如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点．
求证：平面．
在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知函数，其导函数为．
若在不是单调函数，求实数的取值范围；
若在恒成立，求实数的最小整数值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调递增区间
若，，使，求实数的取值范围．
19.本小题分
如果数列满足：且，则称为阶“归化”数列．
若某阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；
若某阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式；
若为阶“归化”数列，求证．
参考答案
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15.解：因为，
由正弦定理得，
所以
A.
即，
由正弦定理得，
又、，则或舍去．
所以．
因为，设中边上的高为，
所以，所以，
设，
由，，，
所以，则，，，
在中，由余弦定理得，
设的中点为，连接，
如图所示，由，则，
在中，，
所以，
解得或舍去，
所以．

16.解：证明：平面平面，平面平面，
，平面，
平面，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
设平面的法向量为，
则，
令，解得，，
，
又，
，即，
又平面，
平面．
假设在线段上存在点，使二面角的大小为，
设，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，解得，，
，
又平面的一个法向量为，
，
即，
解得或舍去，
此时，
在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为，
此时．
17.解：
，
因为在不是单调函数，所以在有变号零点．
因为恒成立，令，则在有变号零点．
因为，所以在单调递增，
因为，当时，，
只需，即，
所以实数的取值范围是．
令，
因为在恒成立，
所以在单调递减，
所以．
所以．
令，
则
，
令，则在恒成立，
所以在单调递减．
因为，，
所以有唯一零点，且，．
当时，，即，
所以在单调递增
当时，，即，
所以在单调递减．
所以
，
所以实数的最小整数值为．
18.解：当时，
时，单调递增，
时，在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为，
，使，
所以，
即，
当时，，对称轴，
(ⅰ)当即时，，
，
所以，
所以，
因为，所以 ，
(ⅱ)当即时，，
，
所以，
，
因为，所以， ，
当时，，对称轴，
所以，
，
所以，
，
所以 ，
当时，
因为，
因为，
所以不可能是函数的最大值，
所以，
所以，
所以，
综上所述：的取值范围是 ．
19.解：设，，成公差为的等差数列，显然，
则由得，
所以，
所以，
所以，，
由得，解得，
所以数列为所求阶“归化”数列．
设等差数列，，，，的公差为，
因为，所以，所以，即．
当时，此时，
与归化数列的条件相矛盾．
当时，由，
故，又，
联立解得，
所以．
当时，由，，同理解得，
所以．
综上，当时，；
当时，．
由已知可得：必有，也必有，，
设，，，为中所有大于的数，，，，为中所有小于的数，
由已知得，
所以．
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