2024-2025学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高三（上）入学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高三（上）入学数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 143.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-18 08:00:00 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高三（上）入学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，且，则 ．
A. B. C. D.
3.已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为 ．
A. B.
C. D.
4.函数在区间的大致图像为( )
A. B.
C. D.
5.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是( )
A. 是数列的最小项 B. 是数列的最大项
C. 是数列的最大项 D. 当时，数列递减
10.点在所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A. 若，则点为的重心
B. 若，则点为的垂心
C. 若，则点为的外心
D. 若，则点为的内心
11.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，使得为曲线的对称轴
D. 存在使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则 ______．
13.在边长为的正方形中，点为线段的三等分点，为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
14.有个相同的球，分别标有数字、、、、、，从中不放回地随机抽取次，每次取个球记表示前两个球号码的平均数，记表示前三个球号码的平均数，则与差的绝对值不超过的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区名学生中抽取人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围
学业成绩
优秀
不优秀
该地区名学生中体育锻炼时长不少于小时的人数约为多少？
估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长精确到．
是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于小时且小于小时有关？
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求；
求的最小值．
17.本小题分
已知四棱锥，，，，，是上一点，．
若是中点，证明：平面．
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
当时， ，求的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线：，点在上，为常数，，按照如下方式依次构点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为
若，求，；
证明：数列是公比为的等比数列；
设为的面积，证明：对任意的正整数，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：人中体育锻炼时长大于小时人数占比，
该地区名初中学生中体育锻炼时长大于小时的人数约为；
该地区初中学生锻炼平均时长约为
；
由题意可得列联表，
其他 总数
优秀
不优秀
提出零假设：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于小时且小于小时无关，
确定显著性水平，，
，
否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于小时且小于小时有关．
16.解：因为，
即，
而，所以；
由知，，所以，，
而，
所以，即有，所以，
所以
．
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为．
17.解：
取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面．
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
18.解：当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值．
，
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故．
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍．
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，．
19.解：点在双曲线：上，
，
直线的方程为，即
联立，解得或舍，
则点，点，
．
关于轴的对称点是，
而，而，都在同一条斜率为的直线上，
，
，都在双曲线上．
，
而，，
，，
即数列是公比为的等比数列．
要证，即证，等价于，
记，
而，，
而
故，即，
即对任意的正整数，．
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数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，且，则 ．
A. B. C. D.
3.已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为 ．
A. B.
C. D.
4.函数在区间的大致图像为( )
A. B.
C. D.
5.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是( )
A. 是数列的最小项 B. 是数列的最大项
C. 是数列的最大项 D. 当时，数列递减
10.点在所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A. 若，则点为的重心
B. 若，则点为的垂心
C. 若，则点为的外心
D. 若，则点为的内心
11.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，使得为曲线的对称轴
D. 存在使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则 ______．
13.在边长为的正方形中，点为线段的三等分点，为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
14.有个相同的球，分别标有数字、、、、、，从中不放回地随机抽取次，每次取个球记表示前两个球号码的平均数，记表示前三个球号码的平均数，则与差的绝对值不超过的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区名学生中抽取人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围
学业成绩
优秀
不优秀
该地区名学生中体育锻炼时长不少于小时的人数约为多少？
估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长精确到．
是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于小时且小于小时有关？
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求；
求的最小值．
17.本小题分
已知四棱锥，，，，，是上一点，．
若是中点，证明：平面．
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
当时， ，求的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线：，点在上，为常数，，按照如下方式依次构点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为
若，求，；
证明：数列是公比为的等比数列；
设为的面积，证明：对任意的正整数，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：人中体育锻炼时长大于小时人数占比，
该地区名初中学生中体育锻炼时长大于小时的人数约为；
该地区初中学生锻炼平均时长约为
；
由题意可得列联表，
其他 总数
优秀
不优秀
提出零假设：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于小时且小于小时无关，
确定显著性水平，，
，
否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于小时且小于小时有关．
16.解：因为，
即，
而，所以；
由知，，所以，，
而，
所以，即有，所以，
所以
．
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为．
17.解：
取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面．
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
18.解：当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值．
，
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故．
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍．
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，．
19.解：点在双曲线：上，
，
直线的方程为，即
联立，解得或舍，
则点，点，
．
关于轴的对称点是，
而，而，都在同一条斜率为的直线上，
，
，都在双曲线上．
，
而，，
，，
即数列是公比为的等比数列．
要证，即证，等价于，
记，
而，，
而
故，即，
即对任意的正整数，．
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