2024-2025学年云南省昆明市昆明三中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省昆明三中高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，集合、均为的子集，表示的区域为( )
A. Ⅰ
B. Ⅱ
C. Ⅲ
D. Ⅳ
2.已知等差数列的前三项依次为，，，则此数列的通项公式等于( )
A. B. C. D.
3.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.设函数，则( )
A. B. C. D.
5.如图：正方体的棱长为，为的中点，过点作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为( )
A. B. C. D.
6.的内角的对边分别为，若边上的高为，则( )
A. B. C. D.
7.一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：结伴步行，自行乘车，家人接送，其他方式．并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. 扇形统计图中的占比最小
B. 条形统计图中和一样高
C. 无法计算扇形统计图中的占比
D. 估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送
10.关于的方程的复数解为，，则( )
A.
B. 与互为共轭复数
C. 若，则满足的复数在复平面内对应的点在第二象限
D. 若，则的最小值是
11.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一点，则( )
A. 当时，满足的点有个
B. 的周长一定小于
C. 的面积可以大于
D. 若恒成立，则的离心率的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，为的中点，是线段上的动点，若，则
的最小值为______．
13.已知变量与的一组样本数据，，，满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得，若变量，则当的预测值最大时，变量的取值约为 ，结果保留位小数
14.定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调增区间；
若函数在存在零点，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．
若，求的方程；
若，求．
17.本小题分
已知函数，其中．
讨论的单调性；
设，若不等式对恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
现有外表相同，编号依次为，，，，的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球．
当时，
假设已知选中的恰为号袋子，求第三次取出的是白球的概率
求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是号袋子的概率
记第三次取到白球的概率为，证明：．
19.本小题分
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．
求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
如图，已知在三棱锥中，平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．

求直线与直线所成角的余弦值；
若点在棱上运动，求直线与平面所成的角的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
，
所以函数的最小正周期为，
令，则，
函数的单调递增区间为．
令，即，则，
在存在零点，则方程在上有解，
若时，则，可得，
，得
故实数的取值范围是．

16.解：设直线，，，
由题意，可得，故，
因为，
所以，
联立，整理得，
可知：，
由韦达定理可知，，
从而，解得，
所以直线的方程为．
设直线，，，
由，可得，
联立，整理得，
可知：，
由韦达定理可知，，
又，解得，
代入抛物线方程得，，
即，，
故．
17.解：
由题意可知：的定义域为，且，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，令，解得；
令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，的单调减区间为，无单调增区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
当时，由可知在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为．
因为 不等式对恒成立，
所以．
设，
则的定义域为，且恒成立，
可知在上单调递增．
因为，
所以，
即，可得，即．
综上所述的取值范围是．

18.解：记“已知选中的恰为号袋子，第三次取出的是白球”为事件，
则，
故已知选中的恰为号袋子，第三次取出的是白球的概率为；
记“选中的是第个袋子”为事件，
则两两互斥，且，
记“第三次取出的是白球”为事件，
则
，
，
，
，
所以在第三次取出的是白球的条件下，
恰好选的是号袋子的概率为
，
故在第三次取出的是白球的条件下，恰好选中的是号袋子的概率为；
证明：记“选中的是第个袋子”为事件，
则两两互斥，且．
记“第三次取出的是白球”为事件，
则，
所以
，得证．
19.解：由离散曲率的定义得：，
，
，
，
四个式子相加得：．
如图，分别取的 中点，连接，显然有，
所以为异面直线与的夹角或其补角，设，
因为，所以，，
因为平面，平面，
所以，，，，
因为，，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
由点处的离散曲率为可得，
所以，由此，
所以，，，
而，，
所以，
故异面直线与的夹角的余弦值为．
如图，过点做交与，连接，
因为平面，所以平面，
则为直线与平面所成的角，设，
在中，
因为，所以，所以，
故，
当分母最小时，最大，即最大，此时，即与重合，，所以的最大值为．

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