2024-2025学年云南省大理州民族中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省大理州民族中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知不等式的解集为，不等式的解集为，则是的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，，且，则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
4.将，，，每个数均加上，得到，，，，则两组数数字特征不同的是( )
A. 平均数 B. 方差 C. 极差 D. 众数的个数
5.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列结论正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
6.已知函数在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，其中，，，，现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数，下列说法正确的有( )
A. 是的最小正周期 B. 关于对称
C. 在的值域为 D. 在上递增
10.已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为、，下列说法正确的是( )
A. B. 当时，
C. 当时，直线的斜率为 D. 直线过定点
11.观察图象，下列结论错误的有( )
A. 若图中为图象，则在处取极小值
B. 若图中为图象，则有两个极值点
C. 若图中为图象，则在上单调递增
D. 若图中为图象，则的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列的前项和为，若，，则 ______．
13.现有名男生，名女生和名老师站成一排照相，名老师分别站两端，且名女生互不相邻，则不同的站法为 ．
14.已知，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知内角，，的对边分别为，，，且．
求角的值；
若，，求的周长．
16.本小题分
若数列是等差数列，则称数列为调和数列若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项．
求和的调和中项；
已知调和数列，，，求的通项公式．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，．
求证：；
求二面角平面角的余弦值．
18.本小题分
每年的月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间单位：小时，并将样本数据分成，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求的值
为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望．
19.本小题分
设椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率为，是坐标原点，且．
求椭圆的方程；
若直线：与椭圆在第一象限内的交点为，，直线与直线的交点为，求的面积．
参考答案
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15.解：因为，所以，
又为内角，，所以，
显然不满足，即有，
而，所以；
由余弦定理得，
，，则，
所以的周长为．
16.解：设 和 的调和中项为 ，依题意得： 、 、 成等差数列，
所以 ，解得： ，
故 和 的调和中项为 ；
依题意， 是等差数列，设其公差为 ，
则 ，
所以 ，
故 ．
17.解：取的中点，连接，，
由，所以，
由，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
由知平面，又平面，所以平面平面，
由，，所以，
又，所以为正三角形，
取，的中点，则，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，，
所以，
则两两垂直，
以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间坐标系：
则，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
所以 ，即
令，所以，，即；
设是平面的一个法向量，
所以 ，即
令，则，，即，
设二面角的平面角为，为锐角，
所以，
二面角平面角的余弦值为．

18.解：由频率分布直方图得：，
解得；
由频率分布直方图得：这名学生中日平均阅读时间在两组内的学生人数之比为，
若采用分层抽样的方法抽取了人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取人，
在日平均阅读时间在内的学生中抽取人，
现从这人中随机抽取人，则可能取值为，，，，
，，
，，
的分布列为：
．
19.解：由题意得：，
则，
解得，
则椭圆的方程为：；
由得，则直线方程，
又可得在线段垂直平分线上，
则，
又在椭圆上，
解得，则，
直线，
联立和线可得，
解得，
则，
则．
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