2024-2025学年甘肃省天水二中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年甘肃省天水二中高三（上）月考数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
3.记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.命题“，”为假命题，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.若，则函数的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若，，，则( )
A. B. C. D.
8.对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是( )
A. 函数是奇函数 B. 方程有三个解
C. 函数有个单调区间 D. 函数有最大值为，无最小值
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 函数与是同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 不等式的解集为
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
10.已知，为方程的两个实根，则( )
A. B.
C. D.
11.定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则正确的是( )
A. 函数图象关于直线对称
B. 函数的周期为
C.
D. 和的图象所有交点横坐标之和等于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知函数，若，则______．
14.若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合或，．
若，求和；
若是的必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知关于的不等式．
Ⅰ若此不等式的解集为，求，的值；
Ⅱ若，求不等式的解集．
17.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求，的值．
判断的单调性不必证明．
若存在，使成立，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在多面体中，平面，平面平面，其中是边长为的正三角形，是以为直角的等腰三角形．
证明：平面；
若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度．
19.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程．
若在处取得极值，求的极值．
若在上的最小值为，求的取值范围．
参考答案
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15.解：当时，集合，
则，或；
因为是的必要条件，则，
当时，，解得满足题意，
当时，只需或，
解得，综上，实数的范围为，．
16.解：Ⅰ由不等式的解集为，
可知方程的两根为和，
则根据韦达定理可得解得，．
Ⅱ由，原不等式可化为，
因此．
当时，不等式的解集为
当时，原不等式即为，不等式的解集为
当时，不等式的解集为．
17.解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
即，
所以，
又因为，
所以，
将代入，
整理得，
当时，有，
即，
又因为当时，有，
所以，
所以．
经检验符合题意，
所以，．
由知：函数，
函数在上是减函数．
因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，
所以，
所以，
令，
由题意可知：问题等价转化为，
又因为，
所以，
即的取值范围为．
18.证明：取的中点，连接，，则．
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
又平面，．
平面，平面，平面；
解：过点作，以为坐标原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
，，，
故，，，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，即．
19.解：若，则，则，
故，，
故曲线在点处的切线方程为，即；
，定义域为，
则，
由于在处取得极值，故，，
则，
令，则或，函数在上均单调递增，
令，则，函数在上单调递减，
故当时，取到极大值，
当时，取到极小值；
由于，
当时，，仅在，时等号取得，在上单调递增，
则，符合题意；
当时，则时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
故，不符合题意；
当时，，在上单调递减，
故，不符合题意；
综上，可知的取值范围为．
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