2024-2025学年辽宁省丹东四中高三（上）期初模拟数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省丹东四中高三（上）期初模拟数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的真子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知，为非零实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设是等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象在点处的切线斜率为，则( )
A. B. C. D.
5.已知连续型随机变量，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有某市去年的人均年收入为万元，记“从该市任意选取名市民，则恰有名市民去年的年收入超过万元”为事件，其概率为则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式有且只有一个整数解，则正实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数，满足，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.已知红箱内有个红球、个白球，白箱内有个红球、个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 第次取出的球是红球的概率为
D. 前次取球恰有次取到红球的概率是
11.已知函数，则( )
A. 在区间上单调递增
B. 当时，取最小值
C. 对为增函数
D. 对
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
13.已知实数，满足，，，则的最小值为 ．
14.数列满足，若对任意，所有的正整数都有成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是公差不为的等差数列，其前项和为，且成等比数列．
求数列的通项公式：
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知数列前项和为，且，记．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设数列的前项和为，求．
18.本小题分
当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的金球性问题的重要手段某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额单位：百万元与其年销售量单位：千件的数据统计表：
公司拟分别用和两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方穼和的经验回归方程；计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位
根据下表数据，用决定系数只需比较出大小比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少？
经验回归方程
残差平方和
参考公式及数据：．
19.本小题分
已知函数．
若，求证：当时，
若有两个不同的极值点且．
求的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设的公差为，由题意知，
即，
因为，所以，，
所以．
设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
，
所以．
16.解：由题意可知：的定义域为，且，
对于，则有：
若时，则，可得，所以在内单调递增；
若时，则有：
当，即时，则，可得，
所以在内单调递增；
当，即时，令，
解得，，且，
令，解得或；令，解得，
所以在内单调递减，在，内单调递增；
综上所述：时，在内单调递增；
时，在内单调递减，在， 内单调递增．
构建，
原题意等价于对任意的恒成立，
则，且，则，解得，
下证充分性，
若，令，，则，
可知在内单调递增，则，即对任意的恒成立，
可知在内单调递增，可得，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为．
17.解：Ⅰ由，得，
当时，；
当，时，，
．
当时也符合，
；
Ⅱ，
．
18.解：，
，
所以，，
所以，
由，两边取以为底的对数得，即，，，
所以，所以；
，
对于，；
对于，，
所以的拟合效果好，当时，预测值千件．
19.解：时，
则，
故在单调递减，
故，
故时，；
，，
由于有两个不同的极值点且，
故是的两个不相等的正实数根，
故，解得，
因为
又
故
由知
所以，故，
由于，
故，
，
令
故，
当时，，
故在单调递增，
故
，
由于
故，
因此
，
故．

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