2024-2025学年福建省莆田市莆田十五中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省莆田十五中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则“”是“且”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.不等式在上恒成立的必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集是( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.某单位为提升服务质量，花费万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为( )
A. B. C. D.
7.已知且恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知正数满足，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.设对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足：
在上单调；
当的定义域为时，的值域也为则区间为该函数的一个“和谐区间”．
下列说法正确的是( )
A. 区间是的一个“和谐区间”
B. 函数的所有“和谐区间”为，，
C. 若函数存在“和谐区间”，则实数的取值范围是
D. 函数存在“和谐区间”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则 ______．
13.设函数，则函数的定义域为______．
14.定义在上的函数满足，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数的定义域为，集合．
求集合
若，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知集合，．
当时，求
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元．
该车营运第几年开始赢利总收入超过总支出，今年为第一年；
该车若干年后有两种处理方案：
当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出；
当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出．
问：哪一种方案较为合算？并说明理由．
18.本小题分
设．
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．
19.本小题分
对于函数，存在实数，使，成立，则称为关于参数的不动点．
当，时，求关于参数的不动点；
当，时，函数在上存在两个关于参数的相异的不动点，试求参数的取值范围；
对于任意的，总存在，使得函数有关于参数的两个相异的不动点，试求的取值范围．
参考答案
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15.解：
由题意可得：，解得：，
所以；
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
当时，，解得：，满足题意；
当时，
解得：；
综上：实数的取值范围是．

16.解：，
当时，，
．
．
解得；
综上，
故的取值范围为
17.解：因为客车每年的营运总收入为万元，使用年，
所需的各种费用总计为万元，
若该车年开始赢利，则，
则，即，
解得，
所以该车营运年开始赢利；
方案由题意知赢利总额，
时，赢利总额达到最大值为万元，
所以年的赢利总额为万元，
方案，年平均赢利总额，
当且仅当时取等号．时年平均赢利总额达到最大值为万元，
所以年的赢利总额为万元，
两种方案的赢利总额一样，但方案的时间短，故方案合算．
18.解：不等式．
当时，化为，即不等式仅对成立，不满足题意；
当时，要使对一切实数恒成立．
则，解得．
综上，实数的取值范围为；
当时，化为，解得；
当时，由，得．
若，解得；
若，当，即时，解得；
当时，，解得或；
当时，，解得或．
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或．
19.解：当，时，，令，
可得，即，解得 或，
当， 时，关于参数的不动点为和；
由已知得为问题 在上有两个不同实数解，
即在上有两个不同解，
令，所以，
解得，
所以的范围是
由题意知，函数有关于参数的两个相异的不动点，
所以方程，
即恒有两个不等实根，
则，
即，对任意的，总存在使之成立，
即，即，
令，
根据对勾函数的性质，令，
则，
解得：，
当，即 时，函数在单调递增，
则，
解得：或，
综上：，
当，即 或时，
函数在单调递减，则
解得：或，
综上：或；
，即时，函数在先减后增，
，
令，
解得：，
故时，，结合得：，
故时，，结合得：，，
综上：．
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