2024-2025学年辽宁省县级合作校高二（上）第一次月考数学试卷（B卷）（含答案）

2024-2025学年辽宁省县级合作校高二（上）第一次月考数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线：和直线：，则直线与直线的位置关系为( )
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 以上都不是
2.对于空间任意一点和不共线的三点、、，有如下关系：，则( )
A. 四点，，，必共面 B. 四点、、、必共面
C. 四点、、、必共面 D. 五点、、、，必共面
3.“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.的三个顶点分别是，，，则边上的高长为( )
A. B. C. D.
6.若点是直线：外一点，则方程表示( )
A. 过点且与垂直的直线 B. 过点且与平行的直线
C. 不过点且与垂直的直线 D. 不过点且与平行的直线
7.设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，、分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是( )
A. 的中点坐标为
B. 点关于轴对称的点的坐标为
C. 点关于原点对称的点的坐标为
D. 点关于面对称的点的坐标为
10.已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
11.如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则直线与平面所成的角可能是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知点，，点在轴上，且到与到的距离相等，则的坐标是______．
13.我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且其法向量为的直线方程为，化简得类比上述方法，在空间坐标系中，经过点，且其法向量为的平面方程为______．
14.已知直线：、：，当时，直线、与两坐标轴围成一个四边形，则四边形面积的最小值为______，此时实数 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
根据要求完成下列问题：
求经过点且与直线：垂直的直线的一般方程；
已知正方形的中心为点，一条边所在的直线的方程是求正方形其他三边所在直线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，为棱的中点，异面直线与所成的角为．
Ⅰ在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；
Ⅱ若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
如图所示，在长方体中，，，为中点，为中点．
求证：平面；
若线段上存在点使得，求直线与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
根据要求完成下列问题：
已知直线：，，直线：被与截得的线段长为，求直线的方程．
给定任一锐角及高，在上任取一点，连接并延长交于点，联结且延长交于点，求证：．
19.本小题分
如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，，，．
若，求二面角的正弦值；
若平面平面，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线：和直线：，可知斜率相等，截距不相等，
可得两条直线平行．
故选：．
通过直线方程，判断直线的位置关系即可．
本题考查直线与直线的位置关系的应用，基本知识的考查．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了共面向量基本定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由共面向量基本定理、空间向量基本定理即可得出．
【解答】解：由，知，
所以四点、、、必共面．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：由直线：与直线：平行，
可得：，
解得，经过验证时，两条直线重合，舍去．
，
“”是“直线：与直线：平行”的充要条件，
故选：．
根据直线：与直线：平行，可得：，解出并且经过验证得出，进而判断出关系．
本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
直线过定点，直线与线段没有交点转化为过定点的直线与线段无公共点，作出图象，由图求解即可．
本题考点是两直线的交点坐标，考查直线与线段无公共点时参数的范围，此题常采用的技巧是借助图象求参数的取值范围，本题直线形式简单，作答时易想不到这也是一个直线系方程，从而解不出定点致使题目无从下手．
【解答】
解：如图，
直线恒过点，
且斜率为，
，
，
由图可知：且，
，
故选B．
5.【答案】
【解析】解：设，则，
，
，
，
解得．
，
．
故选：．
设，可得，于是由于，可得，解得利用模的计算公式即可得出．
本题考查了向量的共线定理、向量垂直与数量积的关系、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知点是直线：外一点，
故A且为常数，
所以方程中，且为常数，
则直线与平行，
将代入中，
即，即点在该方程表示的直线上，
故方程表示过点且与平行的直线．
故选：．
由题意可推出，由此可判断直线与平行，将代入方程，看是否成立，判断直线是否过点，可得答案．
本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：联立解得：，所以入射线与直线的交点为，
在入射线上取一点，则它关于直线的对称点必在反射光线上，
由两点式得反射线所在的直线方程为：，即，
故选：．
依据光学知识，入射线所在直线上点关于的对称点在反射线所在直线上．
本题考查了与直线关于直线对称问题．属中档题．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设则，，，设，．
，，
，
令，．
，函数在上单调递减．
时，函数取得最大值．
的最大值为：．
故选：．
如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设设，可得，令，利用导数研究函数的单调性即可得出．
本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，，
利用中点公式可得的中点坐标为正确；
点关于轴对称的点的坐标为，B错误；
点关于原点对称的点的坐标为，C正确；
点关于面对称的点的坐标为，D正确；
故选：．
结合中点坐标公式可判断A正确；结合空间点对称特点依次判断即可．
本题考查了中点坐标公式以及空间点的对称点问题，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时与直线，的交点分别为，，
截得的线段长，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且设直线与直线和的交点分别为，，
解方程组，解得，
解方程组，解得，
，
，解得，
故所求直线的方程为，
综上所述，所求直线的方程为或．
故选：．
根据已知条件，分直线的斜率存在，不存在两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查直线的一般式方程与直线平行的关系，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设，，，其中，，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，即，
取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
当时，，当时，，
该式随着的增大而增大，随着的增大而减小，
当，时，取得最大值，所以
综上，的取值范围是，所以．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用空间向量、直线与平面夹角的计算公式进行求解判断．
本题考查空间直线与平面所成角的求法，属中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
根据点在轴上，设出点的坐标，再根据到与到的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得，，解方程即可求得的坐标．考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．
【解答】
解：设，
由，
可得，
故．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：根据法向量的定义，若为平面的法向量
则，任取平面内一点，
则
，
即：
故答案为：
类比求曲线方程的方法，我们可以用坐标法，求空间坐标系中平面的方程．任取平面内一点，则根据，即，将点坐标及的坐标代入易得平面的方程．
类比推理的一般步骤是：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题猜想由于平面向量与空间向量的运算性质相似，故我们可以利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解．
14.【答案】
【解析】解：直线的必过点为，斜率为，
在轴上的截距为，且
直线的必过点也为，斜率为，
在轴上的截距为，且
四边形的面积，
四边形面积的最小值为，此时．
故答案为：； ．
直接利用直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
15.【答案】解：设与直线：垂直的直线系方程为，
经过点，，
所求直线方程为；
设边的方程为，
，，且，
可设边的方程为，边、的方程为；
又中心到、、的距离都是，且，
，，
化简得，或舍去，，或，
于是其他三边所在直线的方程，，．
【解析】直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；
利用点到直线的距离公式求出正方形其他三边的方程．
本题考查的知识点：直线垂直的充要条件，点到直线的距离公式，直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力．
16.【答案】解：Ⅰ延长交直线于点，
点为的中点，，
，，
，即，
四边形为平行四边形，即．
，，，
平面，平面，
平面，
，平面，
平面，
故在平面内可以找到一点，使得直线平面．
Ⅱ如图所示，，即，
且异面直线与所成的角为，即，
又，，平面，平面．
平面，，
又，，，，平面，
平面，
平面，．
因此是二面角的平面角，大小为．
．
不妨设，则．
以为坐标原点，平行于的直线为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，可得：．
令，则，，．
设直线与平面所成角为，
则．
【解析】本题考查了线面平行的判定定理，以及利用空间向量求线面的夹角，同时考查了二面角，线面垂直的判定定理和性质定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
Ⅰ延长交直线于点，由点为的中点，可得，由，可得，已知，可得四边形为平行四边形，即利用线面平行的判定定理证明直线平面即可．
Ⅱ由，异面直线与所成的角为，以及，可得平面利用线面垂直的判定定理和性质定理可得，因此是二面角的平面角，大小为，所以，不妨设，
则建立空间直角坐标系，可得，，，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．
17.【答案】证明：在长方体中，以为原点如图建系，
设，则，，，，，
，，，，，
所以，，，
则，，所以，，
又，，平面，
所以平面；
解：设，设，
则，
所以，，，所以，
又，所以，
因为，，
所以，
解得，所以，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，即，
则，令，解得，则，
设直线与平面所成角的平面角为，
则，
所以，
即直线与平面所成角的余弦值为．
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，根据线面垂直的判定定理即可证明；
设，根据，求得点的坐标，再利用空间向量法求解线面角的余弦值即可．
本题考查线面垂直的判定，考查直线和平面所求角的求法，属中档题．
18.【答案】解：设：，直线到直线所处的角为，直线、间的距离为，
由题知，、，由倒角公式得，
、，
由平行直线之间距离公式得：，解得或，
直线的方程为：或；
以点为原点，以与所在直线为轴、轴建立直角坐标系，
设、、、的坐标分别为、、、，
则、所在的直线的方程分别为、，
联立，
，即，
同理，，
．
【解析】直接利用直线间的平行关系求出直线的方程；
利用直线的方程进一步求出直线的斜率，最后确定直线的倾斜角相等．
本题考查的知识点：直线的方程的求法，直线间的位置关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以．
又因为，平面，平面，．
所以平面．
在平面内过点作于，连结，则．
所以为二面角的平面角．
在中，，，
由，得．
在中，，
所以，
所以二面角的正弦值为．
设平面平面．
因为四边形为正方形，所以又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面平面，所以．
因为平面，平面，所以，所以．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以，所以．
设，则，，所以，
解得，即．
【解析】本题考查二面角的平面角的求法，空间点、线、面距离的求法，是中档题．
证明平面在平面内过点作于，连结，则说明为二面角的平面角．通过求解三角形推出二面角的正弦值即可．
设平面平面推出平面证明平面得到，设，然后利用勾股定理求解即可．
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