2024-2025学年辽宁省县级合作校高二（上）第一次月考数学试卷（D卷）（含答案）

2024-2025学年辽宁省县级合作校高二（上）第一次月考数学试卷（D卷）
1.与直线：垂直的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知过点和点的直线为，：，：若，，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.设，，向量，，，且，，则 ．
A. B. C. D.
4.在棱长为的正方体中，设，则的值为( )
A. B. C. D.
5.分别过点和点的直线和互相平行且有最大距离，则的方程是( )
A. B. C. D.
6.已知在正方体中，，分别为，上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线的倾斜角可以是( )
A. B. C. D.
8.如图四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形，，，，，沿边将四边形折起，使得平面平面，如图，动点在线段上，，分别是，的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.给出下列命题，其中是假命题的是( )
A. 若，，，是空间中的任意四点，则有
B. 是，共线的充要条件
C. 若，共线，则
D. 对空间中的任意一点与不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
10.下列结论正确的是( )
A. 若、、三点共线，则的值为
B. 已知两点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为
C. 直线：恒过定点
D. 经过直线：和直线：的交点，且和原点相距为的直线一共有三条
11.点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为，则下面结论正确的是( )
A. 若为中点，满足的点的轨迹长度为
B. 不存在点，使得直线平面
C. 若是棱上靠近的三等分点，平面与平面所成锐二面角的正切值为
D. 在线段上只存在一点，使异面直线与所成的角是
12.已知正方体中，，若，则 ______， ______．
13.直线：与直线：垂直，垂足为，则 ______．
14.已知正方体的棱长为，点、分别为棱、上的定点，且，、分别为棱、上的动点若点、、、在同一个球的球面上，则当直线平面时，该球的表面积为______．
15.如图，在三棱锥中，平面，．
求证：平面；
求二面角的大小．
16.根据要求完成下列问题：
求过且在两坐标轴上截距之和为的直线的截距式方程；
求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程；
过点作直线使它被直线：和：截得的线段被点平分，求直线的一般式方程．
17.如图，在梯形中，，于，且，将梯形沿折叠成如图所示的几何体，，为的中点．
证明：平面；
若图中，，求二面角的余弦值．
18.根据要求完成下列问题：
在平面直角坐标系中，射线、分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交、于、两点，当线段的中点恰好落在直线上时，求直线的方程；
过点作直线分别交、轴正半轴于、两点，当取最小值时，求直线的一般方程．
19.如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，为正三角形，，分别是，上的动点．
求证：；
若，分别是，的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线，点为直线上动点，求直线与平面所成角的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线：的斜率为，依题意可知直线的斜率为，故，
由于，则其倾斜角．
故选：．
直接利用直线垂直的充要条件求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角．
本题考查的知识点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出．
【解答】
解：，，解得．
又，，解得．
．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出，，再由平面向量坐标运算法则求出，由此能求出
【解答】
解：设，，向量，，，
且，，
，解得
，．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：如图，
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系如图，
则，，，，
，，，
则．
故选：．
由题意画出图形，建立空间直角坐标系，再由向量的坐标运算求解．
本题考查空间向量的数量积运算，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：当直线和互相平行且均与垂直时，有最大距离，
由斜率公式可得，
直线的斜率，
的方程为
化为一般式可得
故选：．
当直线和互相平行且均与垂直时，有最大距离，由斜率公式和垂直关系可得直线的斜率，易得直线方程．
本题考查平行线间的距离，涉及直线的垂直关系，属基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了异面直线所成角的度量，解题的关键是找出异面直线所成角，同时考查了学生的运算求解的能力．
根据异面直线所成角的定义先找出所成角，取线段上一点，使，连接、，为异面直线与所成角，然后解三角形即可求出所求．
【解答】
解：取线段上一点，使，连接、，如图所示：
因为，，
所以，
所以，，又，
所以为异面直线与所成角，
设正方体的棱长为，
则，，
所以在中，，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：易知，直线，故它们的距离，
又因为直线被两直线截得的线段长为，
设与的夹角为，则，为锐角或直角，
故，而直线的斜率为，故倾斜角为，
故直线的倾斜角为，或．
故选：．
先算出已知的两直线间的距离，然后根据所截得的线段长求出直线与已知直线的夹角，问题可解．
本题考查直线间的距离公式、直线倾斜角的计算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，，，设，
则，，
，，
异面直线与所成的角为，
，当时，取最大值为：．
故选：．
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的最大值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：由向量的加法运算，显然是真命题；
若，共线，则同向或反向，故B是假命题；
只有当时，，，，四点才共面，故D是假命题，
若，共线，则直线，平行或重合，故C是假命题，
故选：．
根据向量的加法运算、共线与共面的条件，即可判断正误．
本题考查向量的线性运算以及共线与共面的条件，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，、，、、三点共线，、共线，
，解得，故A正确，
对于选项，由于，，
结合图像可知，直线的斜率的取值范围为，故B错误，
对于选项，直线可化为，令，解得，
不论取什么值，直线恒过定点，故C正确，
对于选项，直线和直线的交点为，问题转化为求过点且和原点距离为的直线，当斜率不存在时，直线方程为，符合题意，
当斜率存在时，设方程为，则有，解得，
符合条件的直线有两条，故D错误．
故选：．
直接利用三点共线，直线间的位置关系，点到直线的距离公式进一步判断、、、的结论．
本题考查的知识点：三点共线，直线间的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对选项，如图，
取的中点，连接，
又为中点，则易得，
又平面，又平面，
，且，
平面，当为线段上的点时，都有，
的轨迹为，又易得，选项正确；
对选项，如图，
易证平面平面，
当为上的点时，都满足平面，选项错误；
对选项，如图，
取的中点，，
则易得平面，
过作的平行线分别交，于点，，
则易证，，
从而可得平面，
即为平面与平面所成锐二面角的平面角，
又，选项正确；
对选项，如图，
，
当与点或点重合和时，易得与所成的角都为，
选项错误．
故选：．
对选项，取的中点，则易证平面，从而得的轨迹为，再计算即可判断；
对选项，易证平面平面，从而得为上的点，从而判断B错误；
对选项，取的中点，，则易得平面，过作的平行线分别交，于点，，则易证，，从而可得平面，从而得即为平面与平面所成锐二面角的平面角，再解三角形即可判断；
对选项，由，可得当与点或点重合和时，易得与所成的角都为，从而判断选项错误．
本题考查线面垂直的判断与性质，面面平行的判定与性质，二面角的概念，异面直线所成角问题，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：在正方形中，，
结合正方体中，，，可得，
所以，可得，
结合，可得且．
故答案为：，．
根据正方体的性质与向量的线性运算法则，证出，结合算出、的值．
本题主要考查了正方体的结构特征、空间向量的线性运算法则等知识，考查概念的理解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由两直线垂直得，
解得，将点代入到直线，可得，即，
将点代入到直线，可得，
解得．
故答案为：．
由两条直线垂直的充要条件可得的值，将点垂足代入直线的方程，可得的值，再代入直线的方程，可得的值．
本题考查直线垂直的充要条件的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：建系如图：
则，，，
设，，，
，，
设平面的法向量为，
，，取，
又直线平面，且，
，
解得，，，
，，
作的平行线，、、分别为、、的中点，连接，，
为直角三角形，的外接圆圆心为点，
、、、的外接球球心在过的外接圆圆心且垂直于平面的垂线上，
连接，根据球心到球面上任何一点的距离都相等可知，，
设、，，又，
，解得，，
球的半径，
球的表面积．
故答案为：．
建系，利用向量法，即可求解．
本题考查三棱锥的外接球问题，属中档题．
15.【答案】解：证明：因为平面，平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故BC，
又因为，，
所以平面．
由平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
【解析】先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
结合中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解．
本题考查利用空间向量法求解二面角相关知识，属于中档题．
16.【答案】解：设直线：，令得，令得，
，解得或，
的方程为或，即或；
因为直线过直线：与直线：的交点，
故可设直线：，
当过原点时，代入得，则，直线：，
当不过原点时，令，解得，令，解得，
由题意得，解得，直线：，
的方程为或；
设与的交点为，则点关于点的对称点在上，
代入的方程得，解得，即点在直线上，
的方程为，即．
【解析】先设直线方程的点斜式，然后结合截距的概念即可求解；
结合直线系方程及已知点的坐标即可求解；
结合点关于点的对象及直线方程的两点式即可求解．
本题主要考查了直线方程的求解，属于中档题．
17.【答案】解：证明：取的中点，连接、，
为的中点，，，
又，，
，，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
，又，，
，、，
在中，，，
，，且，
、，，、平面，
平面，又平面，，
，、平面，平面，
故建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
平面，即为平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
．
【解析】取的中点，连接、，易证，从而根据线面平行的判定定理，即可证明；
建系，利用向量法，向量夹角公式，即可求解．
本题考查线面平行的证明，向量法求解二面角问题，属中档题．
18.【答案】解：由题意可知射线所在的直线方程为，射线所在的直线方程为，
当直线的斜率不存在时，的方程为，
则、，则的中点，不符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，解得，
联立，解得，
则的中点，
又在直线上，
，解得，
则直线的方程为，即；
设直线：，
直线经过点，
，
，
当且仅当且，即、时等号成立，
当取最小值时，直线的方程为，即．
【解析】先求出射线，的方程，结合直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出的方程，联立方程，结合中点坐标公式即可求解，，进而可求；
设直线：，把的坐标代入，然后结合基本不等式可求．
本题主要考查了直线方程的求解，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
19.【答案】证明：因为是以为直径的圆上异于，的点，所以，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，平面．
所以．
解：由，分别是，的中点，连结，，，所以，
由知，所以，
所以在中，就是异面直线与所成的角．
因为异面直线与所成角的正切值为，
所以，即，
又平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以，
所以在平面中，过点作的平行线即为直线．
以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设．
因为为正三角形，所以，从而，
由已知，分别是，的中点，所以，
则，所以，
所以，
因为，所以可设，平面的一个法向量为，
则，取，得，
又，则．
设直线与平面所成角为，则．
所以直线与平面所成角的取值范围为．
【解析】利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明．
由已知结合线面平行的判定定理知平面，结合线面平行的性质定理知，建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解．
本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的相关计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
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