山东省青岛市2025届高三上学期期初调研检测数学试题(含答案）

山东省青岛市2025届高三上学期期初调研检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部为
A. B. C. D.
3.已知命题：，，则为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.等差数列的首项为，公差不为，若，，成等比数列，则的前项和为
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于轴对称．若，则
A. B. C. D.
6.两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为
A. B. C. D.
7.设若是的最小值，则的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，直线交的另一条渐近线于点，，则的离心率为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据，，，是公差为的等差数列，去掉首末两项，后得到一组新数据，则
A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同
C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同
10.平面过正方体的顶点，平面 平面，平面平面，平面平面，则
A. B. 平面
C. 平面 D. ，所成的角为
11.设数列和的项数均为，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为已知数列和为中的两个元素，项数均为，下列正确的有
A. 数列，，，和数列，，，的距离为
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，数列和的距离小于，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线 在点处的切线斜率为，则_________．
13.若，是函数 的两个相邻极值点，则_________．
14.正方体的棱长为，是侧面包括边界上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是_________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响．
求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率；
若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行次，求猜谜次数的分布列和期望．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，．
求；
若边上的高等于，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，底面，是线段的中点，在线段上，．
证明：平面；
在线段上，与所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线：，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为，
求点，的坐标；
记，证明：数列为等比数列；
为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值．
19.本小题分
已知函数定义域为，，若，，当时，都有则称为在上的“点”．
设函数．
(ⅰ)当时，求在上的最大“点”；
(ⅱ)若在上不存在“点”，求的取值范围；
设，且，．
证明：在上的“点”个数不小于
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设事件表示在一次猜谜活动中有一方获胜，
事件包含两种情况：甲猜对乙猜错或甲猜错乙猜对，
则，
所以在一次活动中，有一方获胜的概率为；
由题意知，猜谜次数可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为
期望为．
16.解：因为，
由正弦定理得，
即，
即，则；
作于，
因为，
所以在线段上
所以，
所以，，
所以．

17.证明：因为 底面 ，且 底面 ，所以 ，
又因为 为正方形，可得 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，且 为 的中点，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ．
解：以点 为原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形 的边长为 ，可得 ，
可得 ，
则 ， ，
因为 在线段 上，设 ，其中 ，
则 ，
因为 与 所成的角为 ，
可得 ，
解得 ，所以 ，所以 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 所成的二面角为 ，其中 ，
可得 ，
即平面 与平面 所成的二面角为 ．

18.由题知，所以双曲线，又过点，斜率为的直线方程为，由双曲线与直线的对称性可知，所以，又过，且斜率为的直线方程为，即，由，解得或，当时，，所以，所以
设，则过，且斜率为的直线方程为，联立，消得到，由题有，得到，由题知点在直线上，即有，所以，因为，则由知，所以数列为为首项，的公比的等比数列
由知，得到，由，即，即，则，，故，，，，从而，。即，则，则，从而
19.当时，，则，
则当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
即对，，当时，都有，
即在上的最大“点”为；
由题意可得在时恒成立，，
令，，则
当时，恒成立，故在上单调递减，
则，
故在上单调递减，此时，符合要求
当时，令，则，
则当，即时，，即在上单调递增，
则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去
当，即时，恒成立，
故在上单调递减，则，
故在上单调递减，此时，符合要求
当，即时，
若，，若，，即在上单调递减，在上单调递增，
则若需恒成立，有，
解得，
由，
故，由，
故，即当时，符合要求
综上所述，
若在上的“点”个数为，则，符合要求若在上的“点”个数为，
令在上的“点”分别为、、，其中、，，、，
若，则若，由，则，即，若，
由题意，，，
故，即，又，故，符合要求
若，则，，，，
由，则，若，即，
则，若，
由题意，，且，又，故，即，，，，
即有，即，
由，故，又，
故，即在上的“点”个数不小于．
第1页，共1页