2024-2025学年北京市第二中学高三上学期开学测试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市第二中学高三上学期开学测试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合和的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个
2.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.设，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的定义域为当时，；当时，；当时，则
A. B. C. D.
5.定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，如果，，那么( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6.设为实数，则是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.用数字，，，，，组成没有重复数字的五位数，其中比大的偶数共有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，年为碳达峰时期，年实现碳中和，到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为常数，为了测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间则该蓄电池的常数大约为 参考数据：，
A. B. C. D.
9.已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，成立是函数的导函数，若，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知甲盒中有个白球，个黑球；乙盒中有个白球，个黑球．若从这个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是 ．
12.若，则 ； ．
13.已知直线与圆相交，能说明“直线截圆所得弦长不小于”是假命题的一个的值为 ．
14.已知点、分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
函数是奇函数；
，且，关于的方程恰有两个不相等的实数根；
已知是曲线上任意一点，，则；
设为曲线上一点，为曲线上一点若，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，，．
求证：为等腰三角形；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值．
条件：；
条件：的面积为；
条件：边上的高为．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
改革开放年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国年至年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值单位：亿元，折线图为体育产业年增长率．
Ⅰ从年至年随机选择年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率；
Ⅱ从年至年随机选择年，设是选出的三年中体育产业年增长率超过的年数，求的分布列与数学期望；
Ⅲ由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？结论不要求证明
18.本小题分
已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，平面平面分别是的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的大小；
线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知椭圆过点．
求椭圆的方程以及离心率；
设直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为判断直线是否过定点，并证明你的结论．
20.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知集合是正整数的一个排列，函数
对于，定义：，，称为的满意指数．排列为排列的生成列；排列为排列的母列．
Ⅰ当时，写出排列的生成列及排列的母列；
Ⅱ证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；
Ⅲ对于中的排列，定义变换：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换将排列变换为各项满意指数均为非负数的排列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
16.解：在中，由，可得，
则由，可得，
即，故有，
故为等腰三角形．
选择条件：时，由知，则有，
此时，
与已知矛盾，三角形无解不能选；
选择条件：的面积为时，
由得，，
故有，解得，，．
三角形存在且唯一，可选．
选择条件：边上的高为．
由得，，
可得，则有，．
三角形存在且唯一，可选．
综上可知：选择条件时，三角形存在且唯一，．
选择条件时，三角形存在且唯一，．
17.Ⅰ设表示事件“从年至年随机选出年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上”．
由题意可知，年，年，年，年满足要求，
故．
Ⅱ由题意可知，的所有可能取值为，，，，且
；；
；．
所以的分布列为：
故的期望．
Ⅲ从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．

18.因为分别是的中点，所以，
又因为四边形是正方形，所以，所以，
又平面，平面，所以平面；
取的中点，连接，
因为是正三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
由四边形是正方形，易得是矩形，所以，
以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
所以
设平面的一个法向量为，
则，令，则可得，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角的大小为，
所以，
所以平面与平面夹角的大小为；
线段上不存在点，使得直线与平面所成角为，理由如下：
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，
即直线与平面的法向量所成的角为，
设，，
所以，
所以，
整理可得，，所以方程无解，
所以线段上不存在点，使得直线与平面所成角为．

19.将代入椭圆方程可得且，
解得，故，
故椭圆方程为，离心率为
联立与椭圆方程，消去可得，
设，，可得，，
则的方程为，又，
令，则
故直线经过定点．

20.由得，
则，
故函数在处的切线方程为，即；
因为函数和函数的图象没有公共点，
故，即无实数根，
即当时，无实数根，
令，由于，故为偶函数，
所以在上无实根，
又，记，
则，
当时，，，则，
故，满足在上无实根；
当时，在上有实根，不符合题意；
当时，，则在上单调递增，
则，故在上单调递增，
则，满足在上无实根；
当时，因为在上单调递增，
且，
则存在唯一的使得，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故时，，故在上单调递减，故，
又，且在上连续，
故在上有实数根，不符合题意，
综合可知，实数的取值范围为．

21.Ⅰ解：当时，排列的生成列为；
排列的母列为
Ⅱ证明：设的生成列是；的生成列是与．
从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，
即：，，，，．
显然，，，，下面证明：．
由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数．
由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而．
同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而．
因为与是个不同数的两个不同排列，且，
所以，从而．
所以排列和的生成列也不同．
Ⅲ证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以
进行一次变换后，排列变换为，设该排列的生成列为
所以

因此，经过一次变换后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加．
因为的满意指数，其中，
所以，整个排列的各项满意指数之和不超过，
即整个排列的各项满意指数之和为有限数，
所以经过有限次变换后，一定会使各项的满意指数均为非负数．

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