陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题（含答案）

陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲、乙两支足球队比赛，两队踢平的概率为，甲队获胜的概率为，则乙队获胜的概率为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. C. D.
6.在数列中，，，记的前项和为，则( )
A. B. C. D.
7.设，，，已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，，分别为与上的点，且，，则与的面积的比值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为，圆的半径为
，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，，则( )
A. 在上单调递增 B. 在上单调递增
C. ， D. ，
11.已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，，直线与交于，两点，与轴交于点，则( )
A. 满足的点有个
B.
C. 当取最小值时，
D. 当的周长最大时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数的最小值为 ．
13.已知函数的图象经过，两点，且线段与的图象没有除了，以外的交点，则 ．
14.已知四棱锥的各顶点均在球的球面上，底面，四边形为矩形，，，点满足，过作平面，若平面截球所得截面圆的半径的最大值是最小值的倍，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的各项均为整数，，且，，成等比数列．
Ⅰ求的通项公式
Ⅱ设，求数列的前项和．
16.本小题分
某经济研究院为了解民众对“发展新质生产力”的理解程度，在网上开展了相关的有奖答题活动，每人答题一次，对提交的答卷进行打分后，随机抽取份答卷进行统计分析，得分按照，，，分组后制成如图所示的频率分布直方图：
Ⅰ估计这次答题活动得分的分位数．
Ⅱ答题得分越高反映民众对发展新质生产力的理解程度越深，将得分不低于的人员称为“深度理解族”，其余的称为“非深度理解族”已知样本中有一半为高学历人员接受过高等教育，且深度理解族中高学历人员占，依据的独立性检验，能否认为民众对发展新质生产力的理解程度与是否高学历有关
附：．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，．
Ⅰ求证：平面
Ⅱ求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于，两点．
Ⅰ求的取值范围
Ⅱ若点满足，求动点的轨迹方程
Ⅲ若线段的垂直平分线与轴交于唯一一点，证明：．
19.本小题分
设函数的导函数为，若存在实数，，使得，则称为“跃点函数”，并称是的“跃点”．
Ⅰ若，求的所有“跃点”
Ⅱ若，证明：不是跃点函数
Ⅲ若是跃点函数，是的“跃点”，是的“跃点”，试比较和的大小．
参考答案
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15.解：Ⅰ设的公差为，因为，，成等比数列，所以，
即，解得舍去，
所以．
Ⅱ设，因为，所以．
当为偶数时，
当为奇数时，．
综上，
16.【解答】解：
Ⅰ由题知，，所以，因为得分小于的频率为，得分小于的频率为，所以分位数一定位于内，因为，所以估计这次答题活动得分的分位数为；
Ⅱ根据已知条件可得如下的列联表：，根据列联表中数据，得到，因为，所以根据的独立性检验，可以认为民众对发展新质生产力的理解程度与是否高学历有关．
17.解：Ⅰ由直四棱柱的性质可得平面．
又因为，平面，
所以，．
又因为，，所以，所以．
所以，所以．
又，，，平面
所以平面C.
Ⅱ由Ⅰ可知，，，两两垂直，以为坐标原点，
分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
所以，，，．
设为平面的法向量，
则有即可取
设为平面的法向量，
则有即可取．
所以，，
所以二面角的正弦值为．
18.解：Ⅰ由题意可知，过点，的渐近线方程为
当时，与的右支交于两点，符合条件．
当时，的斜率为，要使与的右支有两个交点，必须或，
解得或．
综上，的取值范围是
Ⅱ联立可得，
设点，，，，，则，．
因为点满足，，，所以整理得
两式相除得，代入的方程消去得．
Ⅲ由Ⅱ可得线段的中点坐标为，
则的垂直平分线的方程为，
由题知，且，令，得，即．
所以．
又，
所以．
19.解：Ⅰ，
设是的“跃点”，则，
即，整理得，
所以的所有“跃点”为．
Ⅱ，．
由可得，
整理得，即，
设函数，则，．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当且仅当时取等号，
所以不存在，，使得式成立，故不是跃点函数．
Ⅲ．
因为是的“跃点”，
所以，
即，解得．
因为是的“跃点”，所以，
即，解得
．
设函数，则，
所以在上单调递减，所以，
又，所以，即．
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