24.1.2 垂直于弦的直径 课件（28张ppt） 2024-205学年数学人教版九年级上册

第24章
圆
24.1.2垂直于弦的直径
教学目标/Teaching aims
1
进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
3
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
2
理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
复习回顾
问题1：
什么是轴对称图形？
轴对称图形是平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
圆是轴对称图形吗？
问题2：
圆是周对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
情景导入
该如何证明圆是轴对称图形呢？
新知探究
要证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（轴对称）的对称点也在圆上。
C
D
设CD是⊙O的任意一条直径
A
A为⊙O上点C、D以外的任意一条直径。
过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′。
在△OAA′中，
∵OA=OA′
∴△OAA′是等腰三角形
又∵AA′⊥CD，
∴AM=MA′
即CD使AA′的垂直平分线。
M
A′
新知探究
C
D
A
M
A′
由上可得，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称。
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
新知探究
思考：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
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理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
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·
O
A
B
D
E
C
归纳小结
垂径定理
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
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AC =BC,
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AD =BD.
推导格式：
新知探究
思考：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
新知探究
可运用垂径定理的几种常见图形
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O

D
C
A
B
O
C
巩固练习
1.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm.
16
巩固练习
解: 连接OA，
∵ CE⊥AB于D，
∴设OC=x，则OD=x-2，
根据勾股定理，
得x2=42+(x-2)2，
解得 x=5.
即半径OC的长为5cm.
2.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
新知探究
思考： 如果把垂径定理的结论与题设交换一条，命题还是真命题吗？
①过圆心(是直径)；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
请你举例，并论证你的猜想
新知探究
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
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AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
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（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
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⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
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归纳小结
垂径定理的推论
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
不能去掉，因为圆的两条直径是互相平分的.
巩固练习
1. 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC=BD .
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证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD.
则AM=BM CM=DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）∴AM-CM=BM-DM
∴AC=BD.
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M
N
归纳小结
解决有关弦的问题
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
新知探究
垂径定理的实际应用
问题 (教材P82例2)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
新知探究
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
=18.52+(R-7.23)2
∴ AD= AB=18.5m，
OD=OC-CD=R-7.23.
巩固练习
如图a、b，一弓形弦长为46cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为 .
?

2CM或12CM
新知探究
垂径定理
弓形中的重要数量关系
弦长a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d + r = h
课堂练习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 cm.
2.⊙O的直径AB=20cm，∠BAC=30°则弦AC= cm.
5
课堂练习
3.(分类讨论题)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 .
14cm或2cm
课堂练习
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC,
∴∠OEA=∠ODA=∠EAD=90°.
∴四边形ADOE为矩形，
AE= AC,AD= AB.
又∵AC=AB,
∴AE=AD.
∴四边形ADOE为正方形.
课堂练习
5.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．你认为AC和BD有什么关系？为什么？
解：AB=CD.
过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
课堂练习
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600 m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.设这段弯路的半径为R m,则OF=(R-90) m.
∵OE⊥CD，CF= CD=600=300(m)
根据勾股定理，得解得R=545.
∴这段弯路的半径为545 m.
课堂总结
垂径定理
内容
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
推论
一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论(“知二推三”).
辅助线
两条辅助线：连半径，作弦心距
基本图形及变式图形
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.
24.1.2垂直于弦的直径
谢谢观看
圆