2024年 9月
绵阳南山中学 2024年秋季高二 9月月考试题
数学
命题 ：刘盟 审题 ：石智文
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共 4页，答题卡共
6页．满分 150分，考试时间 120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名用 0.5毫米签字笔填写清楚，同时用 2B铅笔将准考
证号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再
选涂其它答案；非选择题用 0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答
案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符
合题目要求的．
2 4i
1．复数 z ，则 z的虚部为
1 i
A．3 B． 3 C． 3 i D． 1
2．已知向量 a (1, 3 ) ， b (2 , 3)，若 a//b ，则
A．1 B． 1 C．2 D． 3
3． sin 20 cos 40 cos 20 cos50 的值是
A 3
1 1
． B． C． D．1
2 2 2
4 3．如图，△ A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若 A'C' 2cm，且 S A B C cm
2，
2
则原图形中 AC边上的高为
A 3． cm B 6． cm C． 3cm D． 6cm
2 2
5．设 是空间中的一个平面， l，m，n是三条不同的直线，则
A．若 l / /m，m / /n， l ，则n B．若m ， n ， l n，则 l //m
C．若 l / /m，m ， n ，则 l n D．若m ， n ， l m， l n，则 l
2
6．在△ ABC b中，内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，若 cosB 1 ，则 ABC一定是
2ac
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
7．已知正六棱柱的所有棱长均为 2，则该正六棱柱的外接球的体积为
16π 20π
A． B． C 16 5π． D 20 5π．
3 3 3 3
试卷第 1页，共 4页
8．在△ ABC中，内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c， A 60 ，b 1，其面积为 3，则
a +b +c
=
sin A +sin B +sinC
A 3 3 B 26 3 C 2 39 29． ． ． D．
3 3 2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有错选得 0 分.
9．已知函数 f x sin 2x π f x π ，若把函数 的图像向右平移 个单位长度后得到的图
2 3
像关于原点对称，则
π
A．
3
B
π
．函数 f x 的图象关于点 ,03 对称
C．函数 f x π π 在区间 , 上单调递减 2 12
D．函数 f x π , 3π 在 上有 3个零点 4 2
10．如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形 ABCDEFGH 的边长为 2，P、Q为正
八边形内的点（含边界）， PQ在 AB上的投影向量为 AB，则下列结论正确的是
A． AB AG 2 2
B． AB AE 4
C． 的最大值为 2 2 2
D． AB AP 2 2,4 2 2
11．如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥 P ABCD，四
1
棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是 ，公共面 ABCD是一个边长为 1的正方形，则
2
2
A．该几何体的体积为
3
B 2．直线 PD与平面 ABCD所成角的正切值为
2
C．异面直线 AP与CC 61的夹角余弦值为
3
D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案直接填在答题卷中的横线上.
1 i
12．若复数 z满足 z ，则 z ．
1 i
试卷第 2页，共 4页
cos π 2 5π13．已知
，则 sin 2 ．
6 5 6
14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元 222年，他为《周髀算经》一书
作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得
到的正方形由 4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.
类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由 3个全等的三角
形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，
设 AD AB AC（ ， R），若DF 2AF，则 ．
四、解答题:本题共 5小题，第 15题 13分，第 16、17小题 15分，第 18、19小题 17分，共 77分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知向量 e1和 e2，且 e1 e2 1， e1与 e2的夹角为 ，m e e ， n 3e 2e3 1 2 1 2
(1) 求证： 2e1 e2 e2 ；
(2) 若 m n ，求 的值．
16．（15分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD为正方形，E为线段 AB的中点，
PA AB 2．
(1) 求证： BD PC；
(2) 求点 E到平面 PBD的距离．
试卷第 3页，共 4页
17．（15分）
π
函数 f x sin x 0, 的部分图像如图所示.
2
(1)求 f x 的解析式；
π π
(2) x , 若 ,[ f x ]
2 mf x 1 0恒成立，求m的取值范围.
4 4
18．（17分）
△ ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 c 2b cos A a cosC 0 ．
(1) 求角 A的大小；
(2) 若 a 2，b c 1 3 6，求△ ABC的面积；
(3) ABC 2b
2 3a2
若△ 锐角三角形，且外接圆直径为 2 2 ，求角 B取何值时， 有最小值，并
2b
求出最小值．
19．（17分）
2π
如图，在平面五边形 ABCDE中， AB 5，BC CD 1， BCD CDE ，3 BE 2 3
，
△ ABE的面积为 6 ．现将五边形 ABCDE沿 BE向内进行翻折，得到四棱锥 A BCDE．
(1) 求线段DE的长度；
(2) 求四棱锥 A BCDE的体积的最大值；
(3) 当二面角 A BE C的大小为135 时，求直线 AC与平面 BCDE所成的角的正切值．
试卷第 4页，共 4页绵阳南山中学 2024年秋季高二 9月月考数学试题参考答案
1．B 2．B 3．A 4．D 5．A 6．C 7．D 8．C 9．BC
10 A 8 2 180
．【详解】对于 选项，正八边形的内角为 135 ，易知HG AB，
8
AB AG AB AH HG AB AH AB HG AB AH cos135 2 2 2 ，A对；
2
2 2
对于 B选项，连接 AE、 BE ，则 AE为正八边形外接圆的一条直径，则 AB BE ，
2
所以， AB AE AB AB BE AB AB BE 22 0 4，B对；
对于 C选项，如下图所示：
设 PQ在 AB方向上的投影向量为MN，由图形可知，
当 P、Q分别在线段 HG 、CD上时， 取最大值，
2
2 AH cos 45
AB 4 2
且 的最大值为 2 2 1，C错；
AB 2
对于 D选项，过点 H 、C分别作 AB的垂线，垂足分别为点M 、 N，
如下图所示：当点 P在线段 HG 上时， AP cos AB, AP 取最小值，
此时， AB AP AB AM AB AM 2 2 2 2，
当点 P在线段CD上时， AP cos AB, AP 取最大值，
AB AP AB AN AB AN AB AB BN 2 2 2 4 2 2 ，
综上所述， AB AP 2 2,4 2 2 ，D对.故选：ABD.
1 1 1 1 1 2
11．ABD【详解】对于 A，该几何体的体积为1 1 1 1 ，所以 A正确，
2 3 2 2 6 3
对于 B，连接 AC ,BD交于O，连接PO，由题意可知四棱锥 P ABCD为正四棱锥，
所以 PO 平面 ABCD，所以 PDO为直线 PD与平面 ABCD所成角，
1
1 2 PO 2 2
因为正方形 ABCD的边长为 1，所以DO BD ，所以 tan PDO
2 2 DO 2
，所以 B对，
2
2
对于 C，设 A1C1 B1D1 O1，因为CC1∥ AA1，所以 A1AP或其补角为异面直线 AP与CC1的夹角，
PA PO2 AO2 1 2 3 ， PA 2 2 2 6
4 4 2 1
PO1 A1O1 1 ，4 2
答案第 1页，共 4页
1 3 6
A A2 PA2 PA2 cos A AP 1 1 4 4 4 3 3所以 1 2A A PA 3 ，所以异面直线 AP与
CC1的夹角余弦值为 ，
1 2 1 3 3
2 2
所以 C错误，对于 D，设长方体 ABCD A1B1C1D1的外接球的球心为M ，半径为 R，
2
则M 为OO
3
1的中点， (2R)2 12 12
1 2
1 9
，得 R ，
2 4 4 4
PM PO OM 1 1 3因为 R，所以点 P长方体 ABCD ABC D的外接球上，
2 4 4 1 1 1 1
所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，所以 D正确.
17
12．1 13． 14．3
25
ADB 2π【详解】不妨设 AF 1，则 AD 3，如图，由题可知 .
3
AB2 1由 AD2 BD2 2AD BD cos ADB 9 1 2 3 1
，
2
得 AB 13，所以 AC 13，所以B 13,0 C 13 , 39 ， ， A 0,0 .
2 2
BD AB
又 ，所以
sin BAD sin ADB sin BAD
39
，所以 cos BAD 7 13 ，
26 26
所以D ADcos BAD, ADsin BAD D 21 13 , 3 39 21 13 3 39 ，即 .所以 AD , ，AB 13,0 ，
26 26 26 26
21 13
13
13
9
AC 13 39
26 2
13
, ，因为 AD AB AC，所以 ，解得 3
2 2 3 39 39 3
，所以 .
26 2 13
π π 1
15．【详解】（1）因为 e1 e2 1，e1 与 e2 的夹角为 ，所以 e3 1
e2 e1 e2 cose1 ,e2 1 1 cos ，3 2
2 1
所以 2e1 e2 e2 2e1 e2 e2 2 1 2 0 ，所以2 2e1 e2 e2 .
1 r r
（2）由（1）知， e1 e2 ，因为 e1 e2 1， m n ，2
2 2 e e 3e 2e 2 2 2 2 2所以 1 2 1 2 ，即 e1 2 e1 e2 e2 9e1 12e1 e2 4e2 ，
于是有 2 12 2
1
12 7 2，即 6 3 2 0，解得 3或 2
2
16．【详解】（1）证明： PA 平面 ABCD，BD 平面 ABCD， PA BD，
又底面 ABCD为正方形， BD AC，
又 PA AC A，且 PA, AC 平面 PAC， BD 平面 PAC， PC 平面 PAC， BD PC ．
答案第 2页，共 4页
d
（2） E为线段 AB的中点， 若点 A到平面 PBD的距离为 d，则点 E到平面 PBD的距离为 ．
2
1 3
由题易知 PB PD BD 22 22 =2 2 ， S△PBD 2 2 2 2 2 3．2 2
V V 1 1 1 2 3 d 3P ABD A PBD， ( 2 2) 2 2 3 d，解得 ． 点E到平面 PBD的距离为 ．3 2 3 d 3 2 3
3T 5π π 3 2π 3π π17．【详解】（1）由图可得 2， 函数 f (x) sin(2x ) ,1 过点 ，
4 6 12 4 4 12
π π π π π
所以 sin 2 1，则 2kπ k Z ，解得 2kπ k Z ，又 | | ，则 ，
12 6 2 3 2 3
f (x) sin(2x π所以 )；
3
x π , π2
π π 5π 1 1
（ ）因为 ，所以 2x , ，则 f x ,1 ，令 t f x ,t ,1 ， 4 4 3 6 6 2 2
g(
1) 1 1 m 1 0
设 g(t) t 2 mt 1，则 g(t) 0恒成立，由二次函数的图象性质可知，只需 2 4 2 ，
g(1) m 0
解得0 m
3
，故m
3
的取值范围为
2
0,
2
.
18．【详解】（1）由 c 2b cosA acosC 0及正弦定理得：
sinC 2sinB cosA sinAcosC 0，因为sinCcosA sinAcosC sin A C sin π B sinB，
π
所以 sinB 1 2cosA 0，又0 B π， sinB 0， cosA 2 ，又 0 A π，故 A ；
2 4
π
（2）由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA，又 a 2, A ，所以b2 c24 2bc 4
，所以
(b c)2 2 2 bc 4，由b c 1 3 6可得bc 6 3 2，
故VABC S 1 bcsinA 1 6 3 2 2 3 3的面积 ；2 2 2 2
b
（3）由正弦定理可知 2 2，故
sinB b 2 2sinB
，因为VABC是锐角三角形，所以
0 B π
2
0 C
π
π B π2 2b
2 3a2 2 8sin 2B 12 4sin 2B 3 2 3
，所以
4sinB ，
π 4 2 2b 2 2 2sinB 2sinB 2
sinB
A
4
A B C π
3
令sinB t y 4t 2 3 3， ， t 1，由基本不等式可知 y 4t 2 4t 4 3，t 2 t t
3
当且仅当 t 时， ymin 4 3；2
π 2b2 3a2
故角 B取 时， 有最小值，最小值为 .
3 4 32b
答案第 3页，共 4页
19．【详解】（1）如图，延长 BC、ED相交于点 F ，
BCD 2π π因为 CDE ，所以 FCD FDC ，所以 FCD是边长为 1的
3 3
π
等边三角形， CFD ，所以 FE FD DE 1 DE，FB FC CB 1 1 2
3
由余弦定理得 BE 2 FB2 FE 2 2FB FE cos60 ，
即12 4 DE 1 2 2 2 DE 1 cos60 ，即DE2 9，所以 DE 3；
（2）延长 BC,ED相交于点 F ， FCD是边长为 1的等边三角形，
由（1） FE 2 FB2 BE 2 ，得 EBF 90 ，EB BF ，
1 1
所以 S BEF BF BE 2 2 3 2 3，2 2
S 1 CDF CF DFsin 60
3 ，故四边形 BCDE的面积为
2 4
S BEF S CDF 2 3
3 7 3
4 4
要向折叠后得到的四棱锥 A BCDE体积最大，则要四棱锥的高最大，
故使平面 ABE 平面 BCDE，此时四棱锥的高即为 ABE边 BE上的高，
1
因为 ABE的面积为 6 ，设 BE 边上的高为h，则 6 2 3h，解得 ，2 h 2
1 7 3 7 6
故四棱锥的体积的最大值为 2 ；
3 4 12
1
（3）作 AN⊥BE交 BE 于N点，由 BE AN 3AN 6，所以 AN 2，2
可得 BN AB2 AN2 3，所以 N点为 BE的中点，
取 EF 的中点H ，连接 AH ,NH ,CH ，则 NH //BF ，可得NH BE，所以 ANH 135 ，
设翻折前A点为 A ，连接 A N ,AA ，则 A N BE， ANA 45 ， A N 2，
作 AM A N 交 A N于M 点，连接CM ，
因为 AN⊥BE，NH BE， AN NH N ， AN ,NH 平面 AA H ，
所以 BE 平面 AA H ， AM 平面 AA H ，所以 BE AM ，
因为 A N BE N ， A N ,BE 平面 BEF，所以 AM 平面 BEF，
所以 ACM 为直线 AC与平面 BCDE所成的角，由于 ANA 45 ， AN 2，所以 AM MN 1，
因为C,N分别为 BF ,BE
1
的中点，所以CN //EF，CN EF 2，
2
CNB 30 , ANB HNE 90 ，由余弦定理得MC 2 CN 2 MN 2 2CN MN cos MNC
1
4 1 2 2 7
AM 1 7
，MC 7 ，所以 tan ACM .
2 MC 7 7
答案第 4页，共 4页绵阳南山中学高2023级高二上期9月月考 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
数学答题卡
15. （13分） 16. （15分）
班级 姓名 学校
准考证号
注意事项
1.答题前请将姓名、班级、考场、座
[ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ]
号和准考证号填写清楚。
2.客观题答题,必须使用2B铅笔填涂, [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ]
修改时用橡皮擦干净。 [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ]
3.主观题必须使用黑色签字笔书写。
[ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ]
4.必须在题号对应的答题区域内作
[ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ]
答,超出答题区域书写无效。
[ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ]
5.保持答卷清洁完整。
[ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ]
[ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ]
[ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ]
[ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ]
考生禁填
正确填涂 错误填涂 缺考 违规
(由监考老师填涂)
客观题 (共11题)
1 A B C D 6 A B C D 11 A B C D
2 A B C D 7 A B C D
3 A B C D 8 A B C D
4 A B C D 9 A B C D
5 A B C D 10 A B C D
填空题(共3小题，每小题5分，共15分)
12、
13、
14、
请勿在此区域作答或
者做任何标记
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
第1页 共6页 第2页 共6页 第3页 共6页
请保持答题卡干净整洁，不要污损
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
17. （15分） 18. （17分） 19. （17分）
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
第4页 共6页 第5页 共6页 第6页 共6页
