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专题14 二次函数选填题精选
一．选择题（共30小题）
1．（2024 哈尔滨）二次函数的最小值是
A． B．1 C．2 D．3
2．（2024 包头）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为
A． B． C． D．
3．（2024 南通）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为
A． B． C． D．
4．（2024 眉山）定义运算：，例如，则函数的最小值为
A． B． C． D．
5．（2024 广东）若点，，都在二次函数的图象上，则
A． B． C． D．
6．（2024 凉山州）抛物线经过，，，三点，则，，的大小关系正确的是
A． B． C． D．
7．（2024 达州）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
8．（2024 泸州）已知二次函数是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
9．（2024 湖北）已知抛物线，，为常数，的顶点坐标为，与轴的交点在轴上方，下列结论正确的是
A． B． C． D．
10．（2024 乐山）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是
A． B． C． D．
11．（2024 福建）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是
A．可以找到一个实数，使得
B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得
D．无论实数取什么值，都有
12．（2024 陕西）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
0 3 5
0
则下列关于这个二次函数的结论正确的是
A．图象的开口向上
B．当时，的值随值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
13．（2024 青岛）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．（2024 资阳）已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为1，点在轴上，，三点不共线），则△周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2024 东营）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．为任意实数）
16．（2024 广元）如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2024 牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，，，与轴交点的纵坐标在之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，，则．其中正确的结论是
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
18．（2024 雅安）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有
①；
②抛物线的顶点坐标为；
③；
④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．（2024 齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与轴交于，，，其中．结合图象给出下列结论：
①；
②；
③当时，随的增大而减小；
④关于的一元二次方程的另一个根是；
⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
20．（2024 绥化）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
①；
②为任意实数）；
③；
④若，、，是抛物线上不同的两个点，则．
其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．（2024 眉山）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．（2024 广安）如图，二次函数，，为常数，的图象与轴交于点，，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③为任意实数）；④，其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．（2024 连云港）已知抛物线、、是常数，的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
24．（2024 宜宾）如图，抛物线的图象交轴于点、，交轴于点．以下结论：①；②；③当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点，若，则的最小值为．其中正确结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．（2024 遂宁）如图，已知抛物线、、为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个
①；
②；
③；
④若方程两根为，，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
26．（2024 赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是
A． B． C． D．
27．（2024 台湾）甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述何者正确？
A．甲有最大值，且其值为时的值
B．甲有最小值，且其值为时的值
C．乙有最大值，且其值为时的值
D．乙有最小值，且其值为时的值
28．（2024 甘孜州）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
29．（2024 贵州）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，随的增大而减小
D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3
30．（2024 泰安）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．多选题（共1小题）
31．（2024 潍坊）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有
A．
B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是
C．若点和在该抛物线上，则
D．对任意实数，不等式总成立
三．填空题（共18小题）
32．（2024 长春）若抛物线是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ．
33．（2024 牡丹江）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ．
34．（2024 滨州）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ．
35．（2024 内江）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“”或“” ．
36．（2024 宁夏）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ．
37．（2024 济宁）将抛物线向下平移个单位长度．若平移后得到的抛物线与轴有公共点，则的取值范围是 ．
38．（2024 苏州）二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为 ．
39．（2024 辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．
40．（2024 上海）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为 ．
41．（2024 巴中）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为 ．
①；
②当时，代数式的最小值为3；
③对于任意实数，不等式一定成立；
④，，，为该二次函数图象上任意两点，且，当时，一定有．
42．（2024 烟台）已知二次函数的与的部分对应值如表：
1 5
0 5 9 5
下列结论：
①；
②关于的一元二次方程有两个相等的实数根；
③当时，的取值范围为；
④若点，均在二次函数图象上，则；
⑤满足的的取值范围是或．
其中正确结论的序号为 ．
43．（2024 南充）已知抛物线与轴交于两点，在的左侧），抛物线与轴交于两点，在的左侧），且．下列四个结论：①与交点为；②；③；④，两点关于对称．其中正确的结论是 （填写序号）
44．（2024 德阳）如图，抛物线的顶点的坐标为，，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）．
45．（2024 成都）在平面直角坐标系中，，，，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“” ；若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
46．（2024 镇江）对于二次函数是常数），下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当时，这个函数的图象在函数图象的上方；③若，则当时，函数值随自变量增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
47．（2024 新疆）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标为 ．
48．（2024 通辽）关于抛物线是常数），下列结论正确的是
（填写所有正确结论的序号）．
①当时，抛物线的对称轴是轴；
②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；
③若点，在抛物线上，则；
④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
49．（2024 武汉）抛物线，，是常数，经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于的一元二次方程无实数解；
④点，，，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
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专题14 二次函数选填题精选
一．选择题（共30小题）
1．（2024 哈尔滨）二次函数的最小值是
A． B．1 C．2 D．3
【答案】
【考点】二次函数的最值
【解析】由题意，，
当时，取最小值为3．
故选．
2．（2024 包头）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数的三种形式；二次函数图象与几何变换
【解析】．
将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为，
故选．
3．（2024 南通）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换
【解析】因为，
所以抛物线的顶点坐标为，
所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为．
故选．
4．（2024 眉山）定义运算：，例如，则函数的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数的最值
【解析】由题意得，，
即，
函数的最小值为．
故选．
5．（2024 广东）若点，，都在二次函数的图象上，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】二次函数，
该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为轴．
当时，随的增大而增大，
，
，
故选．
6．（2024 凉山州）抛物线经过，，，三点，则，，的大小关系正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】，
抛物线开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而减小，
，关于直线的对称点是，，
，
，
故选．
7．（2024 达州）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【解析】抛物线与轴交于两点，分别为，和，，且，
，，
，
，
由根与系数的关系可得，
，
，
故选．
8．（2024 泸州）已知二次函数是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】图象经过第一、二、四象限，
，
，
，△，
解得，
的取值范围为．
故选．
9．（2024 湖北）已知抛物线，，为常数，的顶点坐标为，与轴的交点在轴上方，下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数图象与系数的关系
【解析】由题意，抛物线顶点为，
可设抛物线为．
．
又抛物线为，
，．
抛物线与轴的交点在轴上方，
．
，故、均不正确．
又抛物线的顶点为，
当时，，故正确．
由，，
，故错误．
故选．
10．（2024 乐山）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数的最值；二次函数的性质
【解析】因为，
所以抛物线的对称轴为直线，且顶点坐标为．
因为，
所以和时的函数值相等．
因为，当时，函数取得最大值，
所以，
又因为当时，函数取得最小值，
所以，
所以，
解得．
故选．
11．（2024 福建）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是
A．可以找到一个实数，使得
B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得
D．无论实数取什么值，都有
【答案】
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】二次函数解析式为，
二次函数开口向上，且对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
，
当时，，
，
故、错误，不符合题意；
当时，，由二次函数对称性可知点和点关于对称轴对称，在对称轴右侧，随的增大而增大，所以当时，；
当时，，由二次函数对称性可知可知点和点关于对称轴对称，在对称轴左侧，随的增大而减小，所以当时，不一定小于0，
故正确，符合题意；错误，不符合题意；
故选．
12．（2024 陕西）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
0 3 5
0
则下列关于这个二次函数的结论正确的是
A．图象的开口向上
B．当时，的值随值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
【答案】
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】由题知，
，
解得，
所以二次函数的解析式为．
因为，
所以抛物线的开口向下．
故选项不符合题意．
因为，
所以当时，随的增大而减小．
故选项不符合题意．
令得，
，
解得，，
所以抛物线与轴的交点坐标为和．
又因为抛物线的顶点坐标为，
所以抛物线经过第一、三、四象限．
故选项不符合题意．
因为二次函数解析式为，
所以抛物线的对称轴为直线．
故选项符合题意．
故选．
13．（2024 青岛）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【解析】∵函数图像开口向上，与y轴交于坐正半轴，与x轴没有交点
∴a＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0，
∵对称轴为x＝，
∴b＝2a＞0，
∴2a﹣b＝0，
∴M（c，2a﹣b）在x轴正半轴上，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，
则N（b2﹣4ac，a﹣b+c）在第二象限，
∴过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过第三象限．
故选C．
14．（2024 资阳）已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为1，点在轴上，，三点不共线），则△周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；正方形的判定与性质；轴对称最短路线问题
【解析】①二次函数与的图象均过点和坐标原点，为线段的中点，
，两个函数的对称轴均为直线，
，解得：，故①正确；
②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
，
由函数的对称性可知，
在△和△中，
，
△△，
，故②正确；
③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为2，
由①可知两个函数的解析式分别为，，
，，
，
点，
，
，
由，
此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时△周长的最小，最小值为，
点的横坐标为1，
，点的横坐标为3，
，，
，，
△周长的最小值为，故④正确；
故选．
15．（2024 东营）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．为任意实数）
【答案】
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】由函数图象可知，
，，，
所以．
故选项不符合题意．
因为抛物线经过点和，
所以抛物线的对称轴为直线，
则，
所以．
故选项不符合题意．
将代入得，
，
所以．
故选项不符合题意．
因为抛物线与轴的交点坐标为和，
所以抛物线的对称轴为直线．
又因为抛物线开口向下，
所以当时，函数取得最大值，
所以对于抛物线上的任意一点（横坐标为，总有，
即．
故选项符合题意．
故选．
16．（2024 广元）如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【解析】①抛物线开口向上，，，
当时，，
故①不符合题意；
②抛物线过点，
函数的最小值，
有两个不相等的实数根；
方程有两个不相等的实数根；
故②符合题意；
③，，
抛物线的对称轴为直线，且，且，而，
，
，
故③不符合题意；
④抛物线过点，
，
时，，即，当时，，
，
，
，
故④符合题意；
⑤：，，
，
由根与系数的关系可得：，，
，
，
，
故⑤符合题意；
综上，②④⑤正确，符合题意，正确个数有三个．
故选．
17．（2024 牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，，，与轴交点的纵坐标在之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，，则．其中正确的结论是
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；二次函数图象与系数的关系；一次函数的性质
【解析】设抛物线的解析式为：，
，，
，故①正确；
点的纵坐标在之间，
，即，
，故②正确；
，
，即，
，
又，
，故③错误；
令相等，则，
，解得（舍，，
，故④正确；
故选．
18．（2024 雅安）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有
①；
②抛物线的顶点坐标为；
③；
④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数图象与系数的关系；根与系数的关系；根的判别式
【解析】由题意，有两实根，，
．
②①得，．
，故①正确．
．
抛物线的对称轴是直线．
抛物线的顶点为．
又，，
，即．
．
．
顶点坐标为，故②正确．
，
．
又，，
．
，故③错误．
，
．
对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．
，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
．
．
，故④错误．
综上，正确的有①②共2个．
故选．
19．（2024 齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与轴交于，，，其中．结合图象给出下列结论：
①；
②；
③当时，随的增大而减小；
④关于的一元二次方程的另一个根是；
⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与轴的交点；根与系数的关系
【解析】由图象可知，，
，故结论①错误；
二次函数的图象与轴交于，
，即，故结论②正确；
二次函数的图象与轴交于，，，其中，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而减小，故结论③正确；
二次函数的图象与轴交于，，，
，是方程的两个根，
，
，
关于的一元二次方程的另一个根是，故结论④正确；
，
，
，
，
，
解得，故结论⑤正确．
故选．
20．（2024 绥化）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
①；
②为任意实数）；
③；
④若，、，是抛物线上不同的两个点，则．
其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】由题意，抛物线开口向下，
．
又抛物线的对称轴是直线，
．
又抛物线交轴正半轴，
当时，．
，故①错误．
由题意，当时，取最大值为，
对于抛物线上任意的点对应的函数值都．
对于任意实数，当时，．
，故②正确．
由图象可得，当时，，
又，
，故③正确．
由题意抛物线为，
，故④错误．
综上，正确的有②③共2个．
故选．
21．（2024 眉山）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与轴的交点
【解析】①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，故③正确；
④，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选．
22．（2024 广安）如图，二次函数，，为常数，的图象与轴交于点，，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③为任意实数）；④，其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【解析】二次函数开口方向向下，与轴交于正半轴，
，，
，
，
，故①错误；
对称轴是直线，点和点都在抛物线上，
又，
，故②错误；
当时，，当时，函数取最大值，
对于任意实数有：，
，故③正确；
，
，
当时，，
，
，即，故④正确；
故选．
23．（2024 连云港）已知抛物线、、是常数，的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与轴的交点；二次函数图象与几何变换
【解析】顶点为，
，
，
，
，
，
，
无法判断，故①错误；
，
抛物线开口向下，
对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故②正确；
，，
，
当时，，
，
，故③正确；
，
将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到，故④错误；
故选．
24．（2024 宜宾）如图，抛物线的图象交轴于点、，交轴于点．以下结论：①；②；③当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点，若，则的最小值为．其中正确结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】胡不归问题；等腰三角形的判定；抛物线与轴的交点；二次函数图象与系数的关系
【解析】抛物线的图象交轴于点，
，故①正确；
抛物线的图象交轴于点、，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
、，，
，
当时，则，
，
解得或（不合题意，舍去），
当时，，
，
解得（负数舍去），
综上，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；
当时，，则，
如图所示，取点，，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
当、、共线时，的值最小，即此时的最小，最小值为，
在中，，故④正确；
故选．
25．（2024 遂宁）如图，已知抛物线、、为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个
①；
②；
③；
④若方程两根为，，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【考点】根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；抛物线与轴的交点
【解析】抛物线开口向上，
，
对称轴为直线，、同号，
，
与轴的交点在和之间，
，
，
故①不正确；
对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
与轴交于另一点，
，，
故②不正确；
由题意可得，方程的两个根为，，
又，即，
，
，
因此，
故③正确；
若方程两根为，，则直线与抛物线的交点的横坐标为，，
直线过一、二、三象限，且过点，
直线与抛物线的交点在第一、第三象限，
由图象可知．
故④正确；
综上所述，正确的结论有③④，
故选．
26．（2024 赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
将，两点的横坐标代入函数解析式得，
点坐标为，点坐标为，
所以，，，．
因为四边形是正方形，
所以，，
所以，
所以．
在和中，
，
所以，
所以，，
所以，
又因为，
所以，
即，
因为，
所以，
所以．
故选．
27．（2024 台湾）甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述何者正确？
A．甲有最大值，且其值为时的值
B．甲有最小值，且其值为时的值
C．乙有最大值，且其值为时的值
D．乙有最小值，且其值为时的值
【答案】
【考点】二次函数的最值
【解析】二次函数中，，
此函数有最小值，最小值为时的值，
、错误；
二次函数中，，
此函数有最大值，最大值为时的值，
正确、错误，
故选．
28．（2024 甘孜州）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】
【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点
【解析】由题意，函数图象与轴交于负半轴，
当时，，故①正确．
又根据函数的图象可得，，且，
．
．
对称轴是直线，故②正确．
由题意，或时，，且抛物线开口向上，
当时，，故③正确．
故选．
29．（2024 贵州）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，随的增大而减小
D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3
【答案】
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【解析】选项顶点坐标为，对称轴为直线，故选项错误；
选项：由对称性可知，关于对称的点为，故选项错误；
选项：开口向下，当时，随的增大而增大，故选项错误；
选项：设二次函数解析式为，将代入得，
，令得，
二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3，故选项正确．
故选．
30．（2024 泰安）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与轴的交点；根的判别式；二次函数图象与系数的关系
【解析】抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故①正确；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在2，3之间，
与轴的另一个交点在，0之间，
方程一定有一个根在和0之间，故②错误；
抛物线与直线有两个交点，
方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线与轴的另一个交点在，0之间，
，
图象与轴交点的纵坐标是2，
，
，
．故④错误．
故选．
二．多选题（共1小题）
31．（2024 潍坊）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有
A．
B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是
C．若点和在该抛物线上，则
D．对任意实数，不等式总成立
【答案】
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】将代入，可得，由图象可知，此时图象在轴上方，故，故选项正确；
对称轴是直线，
故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故选项错误；
时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故选项正确；
时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故选项正确；
故选．
三．填空题（共18小题）
32．（2024 长春）若抛物线是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ．
【答案】．
【考点】抛物线与轴的交点
【解析】由题意，抛物线是常数）与轴没有交点，
△．
．
故答案为：．
33．（2024 牡丹江）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 2 ．
【答案】2．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】抛物线向下平移5个单位长度后得到，
把点代入得到，，
得到，
，
故答案为：2．
34．（2024 滨州）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质
【解析】将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，后抛物线解析式为，
顶点坐标为，
故答案为：．
35．（2024 内江）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“”或“” ．
【答案】．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换
【解析】，
二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线的函数关系式为：，即；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，在抛物线上，且，
，
故答案为：．
36．（2024 宁夏）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ．
【答案】．
【考点】抛物线与轴的交点
【解析】二次函数的图象与轴有交点，
△，
解得，
即的取值范围为．
故答案为：．
37．（2024 济宁）将抛物线向下平移个单位长度．若平移后得到的抛物线与轴有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】．
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数图象与几何变换；二次函数的性质
【解析】将抛物线向下平移个单位长度得，
平移后得到的抛物线与轴有公共点，
△，
，
解得，
故答案为：．
38．（2024 苏州）二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为 ．
【答案】．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】将，，代入，
得：，
，
把代入，
得：，
，
，
故答案为：．
39．（2024 辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 4 ．
【答案】4．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【解析】由题意，抛物线过，，
．
．
抛物线为．
抛物线的对称轴是直线．
抛物线与轴的一交点为，
另一交点为，即．
．
故答案为：4．
40．（2024 上海）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为 4 ．
【答案】4．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】抛物线，
，
解得，
抛物线 “开口大小”为，
故答案为：4．
41．（2024 巴中）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为 ①③④ ．
①；
②当时，代数式的最小值为3；
③对于任意实数，不等式一定成立；
④，，，为该二次函数图象上任意两点，且，当时，一定有．
【答案】①③④．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与几何变换
【解析】二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称，
二次函数的对称轴是直线．
．
．
，故①正确．
将代入，
．
，
当时，取最小值为，故②错误．
，
．
，，
，即，故③正确．
，
．
，的中点在对称轴的右侧．
，
点离对称轴的距离比离对称轴的距离近．
抛物线开口向上，
，故④正确．
故答案为：①③④．
42．（2024 烟台）已知二次函数的与的部分对应值如表：
1 5
0 5 9 5
下列结论：
①；
②关于的一元二次方程有两个相等的实数根；
③当时，的取值范围为；
④若点，均在二次函数图象上，则；
⑤满足的的取值范围是或．
其中正确结论的序号为 ①②④ ．
【答案】①②④．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；二次函数图象与系数的关系；根的判别式
【解析】把，，代入得：
，
解得
，故①正确；
，，，
，
当时，，
，
△，
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故②正确；
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的顶点坐标为，
又，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数取最大值9，
与时函数值相等，等于5，
当时，的取值范围为，故③错误；
，
点，关于对称轴对称，
，故④正确；
由 得，即，画函数 和图象如下：
由，
解得，
，，
由图形可得，当或时，，即，故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
43．（2024 南充）已知抛物线与轴交于两点，在的左侧），抛物线与轴交于两点，在的左侧），且．下列四个结论：①与交点为；②；③；④，两点关于对称．其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）
【答案】①②④．
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与轴的交点
【解析】令，解得，
把代入得，，
与交点为，故①正确；
抛物线与抛物线的开口方向和大小相同，且，
两抛物线沿直线对折能够重合，
两抛物线的关于直线对称，
，两点关于对称，故④正确；
，
，故②正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，与交点为，
，或，，
不一定成立，故③错误．
故答案为：①②④．
44．（2024 德阳）如图，抛物线的顶点的坐标为，，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 ①②④ （请填写序号）．
【答案】①②④．
【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【解析】抛物线的顶点的坐标为，，
．
，
抛物线开口方向向下，即，
，
当时，，
，故①正确．
由图象可得：当时，，
，故②正确．
直线是抛物线的对称轴，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，故③错误．
关于的一元二次方程无实数根，
顶点，在直线的下方，
，故④正确．
故正确的有①②④．
故答案为：①②④．
45．（2024 成都）在平面直角坐标系中，，，，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“” ；若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
【答案】，．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】，
二次函数图象的对称轴为直线，开口向下，
，，
，即，比，离对称轴直线的水平距离近，
；
，，，
，
对于，，，存在，
，，且，离对称轴最远，，离对称轴最近，
，
，且，
，，
，且，
解得，
故答案为：，．
46．（2024 镇江）对于二次函数是常数），下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当时，这个函数的图象在函数图象的上方；③若，则当时，函数值随自变量增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 ①②④ （填写序号）．
【答案】①②④．
【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数的最值
【解析】将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到，
当时，，
平移后的函数的图象经过原点，
故①正确；
当时，则，
令，即，
△，
抛物线与直线没有交点，
抛物线开口向上，
当时，这个函数的图象在函数图象的上方；
故②正确；
二次函数是常数），
开口向上，对称轴为直线，
当时，函数值随自变量增大而增大，
故③错误；
，
顶点为，
，
故④正确．
故答案为：①②④．
47．（2024 新疆）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标为 ．
【答案】．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与轴的交点
【解析】作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小，，
在中，令，则，
点，
令，则，
解得或，
点，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
设直线的解析式为，
代入、的坐标得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
．
故答案为：．
48．（2024 通辽）关于抛物线是常数），下列结论正确的是 ①④ （填写所有正确结论的序号）．
①当时，抛物线的对称轴是轴；
②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；
③若点，在抛物线上，则；
④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
【答案】①④．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【解析】当时，抛物线为，
抛物线的对称轴是轴，故①正确．
又若此抛物线与轴只有一个公共点，
△．
，故②错误．
由题意，抛物线为，
对称轴是直线．
又抛物线开口向上，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又，，
．
，故③错误．
由题意，抛物线的对称轴是直线，
顶点为．
顶点在直线上．
又直线与平行，
顶点到直线的距离等于两条平行线间的距离．
又直线与轴的夹角为，
且是向下平移4个单位得到的，
两平行线间的距离为．
顶点到直线的距离为，故④正确．
故答案为：①④．
49．（2024 武汉）抛物线，，是常数，经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于的一元二次方程无实数解；
④点，，，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 ②③④ （填写序号）．
【答案】②③④．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；抛物线与轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】，，是常数，经过，两点，且，
对称轴为直线，
，
，
，
，故①错误；
，
，即，两点之间的距离大于1，
又，
时，，
若，则，故②正确；
由①可得，
，即，
当时，抛物线解析式为，
设顶点线坐标为，
抛物线，，是常数，经过，
，
，
，
，，对称轴为直线，
当时，取得最大值为2，而，
关于的一元二次方程无解，故③正确；
，抛物线开口向下，点，，，在抛物线上，，，总有，
又，
点，离较远，
对称轴，
解得：，故④正确；
故答案为：②③④．
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