中小学教育资源及组卷应用平台
专题13 反比例函数
一．选择题（共24小题）
1．（2024 重庆）已知点在反比例函数的图象上，则的值为
A． B．3 C． D．6
2．（2024 重庆）反比例函数的图象一定经过的点是
A． B． C． D．
3．（2024 扬州）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是
A．0 B．1 C．2 D．4
4．（2024 安徽）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则的值为
A． B． C．1 D．3
5．（2024 泸州）已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024 广西）已知点，，，在反比例函数的图象上，若，则有
A． B． C． D．
7．（2024 济宁）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
8．（2024 天津）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
9．（2024 滨州）点，和点，在反比例函数为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为
A． B． C． D．
10．（2024 浙江）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
11．（2024 河北）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电度，则能使用天．下列说法错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若减小，则也减小 D．若减小一半，则增大一倍
12．（2024 大庆）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为
A． B．
C． D．
13．（2024 自贡）一次函数，二次函数，反比例函数在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是
A． B． C． D．
14．（2024 广州）函数与的图象如图所示，当 时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
15．（2024 呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为
A． B．
C． D．
16．（2024 镇江）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是
A．或 B．且 C．或 D．或
17．（2024 宜宾）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点、及的中点，轴，与轴交于点．则的值为
A． B． C． D．
18．（2024 黑龙江）如图，双曲线经过、两点，连接、，过点作轴，垂足为，交于点，且为的中点，则的面积是
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
19．（2024 通辽）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为
A． B． C． D．3
20．（2024 牡丹江）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，与交于点，，若四边形的面积为2，则的值是
A． B． C． D．
21．（2024 宿迁）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
22．（2024 苏州）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为
A． B． C． D．
23．（2024 长春）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是
A． B． C． D．，
24．（2024 新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点，和点，，如果，那么；④．其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共23小题）
25．（2024 无锡）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
26．（2024 武汉）某反比例函数具有下列性质：当时，随的增大而减小．写出一个满足条件的的值是 ．
27．（2024 遂宁）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限．
28．（2024 包头）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ．
29．（2024 齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
30．（2024 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且，反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ．
31．（2024 广州）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为，交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；
②△的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
32．（2024 无锡）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现，两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ．
33．（2024 深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则 ．
34．（2024 绥化）如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则 ．
35．（2024 云南）已知点在反比例函数的图象上，则 ．
36．（2024 北京）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ．
37．（2024 陕西）已知点和点均在反比例函数的图象上．若，
则 0．（填“”“ ”或“”
38．（2024 福建）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
39．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点，，将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ．
40．（2024 湖南）在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即为常数，．若某乐器的弦长为0.9米，振动频率为200赫兹，则的值为 ．
41．（2024 广元）已知与的图象交于点，点为轴上一点，将沿翻折，使点恰好落在上点处，则点坐标为 ．
42．（2024 威海）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ．
43．（2024 哈尔滨）已知蓄电池的电压（单位：为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压 ．
44．（2024 海南）某型号蓄电池的电压（单位：为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压为 ．
45．（2024 南通）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 ．
46．（2024 连云港）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
47．（2024 山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
三．解答题（共44小题）
48．（2024 贵州）已知点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由．
49．（2024 山东）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系：
1
1
7
（1）求、的值，并补全表格；
（2）结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围．
50．（2024 宁夏）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
【动手操作】
列表：
1 2 3 4 5
2 1
描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象．
【探究发现】
（1）将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象．
（2）上述探究方法运用的数学思想是 ．
．整体思想
．类比思想
．分类讨论思想
【应用延伸】
（1）将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象．
（2）函数图象的对称中心的坐标为 ．
【应用延伸】
（1）右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度；
（2）．
51．（2024 苏州）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点．
（1）求，的值；
（2）点为反比例函数图象上一动点（点在，之间运动，不与，重合），过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．
52．（2024 乐山）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
（1）求、的值和一次函数的表达式；
（2）连结，求点到线段的距离．
53．（2024 江西）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接．
（1）点的坐标为 ；
（2）求所在直线的解析式．
54．（2024 盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点坐标．
55．（2024 青海）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
（1）求点，点的坐标及一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集．
56．（2024 甘孜州）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点在反比例函数的图象上．
（1）求与的值；
（2）连接，并延长交反比例函数的图象于点．若一次函数的图象经过，两点，求这个一次函数的解析式．
57．（2024 巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为1．
（1）求的值及点的坐标．
（2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．
58．（2024 兰州）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
59．（2024 常州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积．
60．（2024 潍坊）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
61．（2024 广元）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，，两点，为坐标原点，连接，．
（1）求与的解析式；
（2）当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围；
（3）求的面积．
62．（2024 泰安）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若，请直接写出满足条件的的取值范围；
（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
63．（2024 凉山州）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接、，求的面积．
64．（2024 上海）在平面直角坐标系中，反比例函数为常数且上有一点，且与直线交于另一点．
（1）求与的值；
（2）过点作直线轴与直线交于点，求的值．
65．（2024 内江）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
66．（2024 广安）如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围．
67．（2024 泸州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线与反比例函数和的图象分别交于点，，且，求点的坐标．
68．（2024 德阳）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集．
69．（2024 遂宁）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
70．（2024 东营）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
71．（2024 镇江）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象交于点．（1）求和的值；
（2）已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数的图象上．当的面积与的面积相等时，直接写出点的坐标 ．
72．（2024 资阳）如图，已知平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点，求点的坐标，并写出直线在图中的一个特征．
73．（2024 雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）若点是轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点的坐标．
74．（2024 赤峰）在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：当点，，满足时，称点是点的等和点．
（1）已知点，在，，中，是点等和点的有 ， ；
（2）若点的等和点在直线上，求的值；
（3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
75．（2024 湖北）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数为常数，的图象在第一象限的部分交于点．
（1）求，，的值；
（2）若是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点的横坐标的取值范围．
76．（2024 临夏州）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为．
（1）求，的值；
（2）将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
77．（2024 甘肃）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作轴的平行线分别交与的图象于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
78．（2024 烟台）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，．将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点，，与轴，轴交于点，，且满足，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求的值及的面积．
79．（2024 自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标；
（3）点在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出点坐标．
80．（2024 连云港）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，点的横坐标为2．
（1）求的值；
（2）利用图象直接写出时的取值范围；
（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点，与轴交于点，再将函数的图象沿平移，使点、分别平移到点、处，求图中阴影部分的面积
81．（2024 济南）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
（3）如图2，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
82．（2024 吉林）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
（2）当电阻为时，求此时的电流．
83．（2024 淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标．
84．（2024 南充）如图，直线经过，两点，与双曲线交于点．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点作轴于点，点在轴上，若以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．
85．（2024 河南）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象．
（3）将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 ．
86．（2024 达州）如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点是轴正半轴上的一点，且，求点的坐标．
87．（2024 宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）已知点在轴上，点在反比例函数图象上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
88．（2024 眉山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
89．（2024 成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上．
（1）求，，的值；
（2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；
（3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值．
90．（2024 大庆）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上．点，在第一象限，四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，，，则中点坐标为，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
（3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点为的中点，过点作于点．请直接写出点坐标和的值．
91．（2024 广东）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点，是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点．
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点的对应点为．当点落在轴上，且点的坐标为时，求的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形沿折叠，点的对应点为．当点，重合时，连接交于点．以点为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题13 反比例函数
一．选择题（共24小题）
1．（2024 重庆）已知点在反比例函数的图象上，则的值为
A． B．3 C． D．6
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】点在反比例函数的图象上，
．
故选：．
2．（2024 重庆）反比例函数的图象一定经过的点是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】当时，，
图象不经过，故选项错误；
当时，，
图象经过，故选项正确；
当时，，
图象不经过，，故选项、选项错误；
故选：．
3．（2024 扬州）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】当时，，故函数与轴的交点坐标为，
当时，函数无意义．故函数与轴没有交点，
函数的图象与坐标轴的交点个数是1个．
故选：．
4．（2024 安徽）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则的值为
A． B． C．1 D．3
【答案】
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】将代入中，
得：，
将代入中，
得：，
故选：．
5．（2024 泸州）已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】关于的一元二次方程无实数根，
△，
解得，
则函数图象经过第二、四象限，函数的图象分布在第一、三象限，
两个函数没有交点．
故选：．
6．（2024 广西）已知点，，，在反比例函数的图象上，若，则有
A． B． C． D．
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】，
反比例函数的图象在一、三象限，
，
，
故选：．
7．（2024 济宁）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】在反比例函数中，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
在第四象限，
，
，
，
，
故选：．
8．（2024 天津）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】，
反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
点，，，，，都在反比例函数的图象上，
点，分布在第三象限，，，，分布在第一象限，且，
，，
，
故选：．
9．（2024 滨州）点，和点，在反比例函数为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】反比例函数中，，反比例函数图象分布在第一、三象限，
，
点在第三象限的图象上，点在第一象限的图象上，
，
故选：．
10．（2024 浙江）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】反比例函数中，，
此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
、当时，，
，
，正确，符合题意；
、当时，点在第三象限，点在第一象限，
，，
，原结论错误，不符合题意；
、由知，当时，，原结论错误，不符合题意；
、当时，，
，在第一象限，
，
，原结论错误，不符合题意．
故选：．
11．（2024 河北）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电度，则能使用天．下列说法错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若减小，则也减小 D．若减小一半，则增大一倍
【答案】
【考点】反比例函数的应用
【解析】由题意得，；
、若，则，正确，故此选项不符合题意；
、若，则，解得，正确，故此选项不符合题意；
、若减小，则增大，原说法错误，故此选项符合题意；
、若减小一半，即，所以增大一倍，正确，故此选项不符合题意；
故选：．
12．（2024 大庆）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象
【解析】将代入得，
，
所以函数过定点．
故选项不符合题意．
当时，
函数中随的增大而增大．
因为当时，
，
所以此函数的图象都在轴的上方，
所以不符合题意，符合题意．
故选：．
13．（2024 自贡）一次函数，二次函数，反比例函数在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】一次函数图象与系数的关系；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】根据题意得，
解得，
的取值范围是，
故选：．
14．（2024 广州）函数与的图象如图所示，当 时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
【答案】
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】根据二次函数图象当时，随着的增大而减小，同样当时，反比例函数随着的增大而减小．
故选：．
15．（2024 呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数的图象
【解析】一次函数图象经过第一、二、四象限，
，，
反比例函数的图象在第二四象限，
，
，，，
函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交点在正半轴，选项符合．
故选：．
16．（2024 镇江）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是
A．或 B．且 C．或 D．或
【答案】
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】当在原点右侧时，点坐标为，
直线绕点逆时针旋转，
所得的直线与直线平行，
设这条直线的解析式为：，
这条直线经过第一、二、四象限，
，
在直线上，
，
，
，
，
；
当在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：，
同理：，
，
，
，
，
．
的取值范围是或．
故选：．
17．（2024 宜宾）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点、及的中点，轴，与轴交于点．则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线分线段成比例；反比例函数的性质；等腰三角形的性质
【解析】作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，
在等腰三角形中，，是中点，
设，，
由中点为，，
在等腰三角形中，
，
，
的中点为，
，即，
由在反比例函数上得，
，
解得：，
由题可知，，
，
故选：．
18．（2024 黑龙江）如图，双曲线经过、两点，连接、，过点作轴，垂足为，交于点，且为的中点，则的面积是
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
【答案】
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】如图，过点作轴，垂足为，连接，则，
是的中点，即，而，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故选：．
19．（2024 通辽）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为
A． B． C． D．3
【答案】
【考点】估算无理数的大小；反比例函数图象上点的坐标特征；正多边形和圆；坐标与图形变化平移
【解析】如图，作交的延长线于点，交反比例函数图象于点，
原点为正六边形的中心，轴，
，
，
，
设正六边形的边长为，则，，，
点都在反比例函数图象上，
，
解得，
，
．
故选：．
20．（2024 牡丹江）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，与交于点，，若四边形的面积为2，则的值是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数的几何意义；矩形的性质
【解析】过点作，则，
，
，
设，
，
，
，
，
即，解得：，
故选：．
21．（2024 宿迁）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质
【解析】如图，过作轴于．
由题意，设，，
，，
．
又设直线为，
．
．
直线为．
联立，
．
．
，．
．
又，
．
．
故选：．
22．（2024 苏州）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】作轴，垂足为，轴，垂足为，
点在函数图象上，点在反比例函数图象上，
，，
，
，，
，
，
．
故选：．
23．（2024 长春）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是
A． B． C． D．，
【答案】
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】由题意，点在函数上，
．
反比例函数为．
设直线为，
．
．
直线为．
又设向上平移个单位到直线，
，直线为．
再设，，
．
．
作轴于，
，，．
．
．
．
．
．
故选：．
24．（2024 新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点，和点，，如果，那么；④．其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】如图，作轴，垂足为，
①根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项正确；
②点与点关于原点对称，
，
在和中，
，
，
，
轴，
，
，
，
是的中点，
是的中位线，故选项正确；
③在每个象限内，随的增大而减小，故选项错误；
④，故正确；
其中正确结论的是①②④，共3个．
故选：．
二．填空题（共23小题）
25．（2024 无锡）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【考点】一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质
【解析】根据题意有：，
故答案为：（答案不唯一）．
26．（2024 武汉）某反比例函数具有下列性质：当时，随的增大而减小．写出一个满足条件的的值是 1（答案不唯一） ．
【答案】1（答案不唯一）．
【考点】反比例函数的性质
【解析】由题可知，
当反比例函数具有下列性质：当时，随的增大而减小，
即时满足条件，
则的值取1．
故答案为：1（答案不唯一）．
27．（2024 遂宁）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 四 象限．
【答案】四．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象
【解析】因为反比例函数的图象在第一、三象限，
所以，
解得，
所以点在第四象限．
故答案为：四．
28．（2024 包头）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ．
【答案】12．
【考点】负整数指数幂；反比例函数的性质
【解析】反比例函数，当时，函数的最大值是，
随增大而减小，当时，函数最大值，
反比例函数，当时，函数的最大值是，
随增大而增大，当时，函数最大值，
．
故答案为：．
29．（2024 齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
【答案】．
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质
【解析】如图，延长交轴于点，
，，
，
是平行四边形，
，
，
，
点在反比例函数图象上，
．
故答案为：．
30．（2024 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且，反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 12 ．
【答案】12．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数的几何意义
【解析】过点作轴于，过点作轴于，如图所示：
点，，轴，，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
即，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
，，
．
31．（2024 广州）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为，交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；
②△的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④．
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；坐标与图形变化平移
【解析】①，，
，
矩形的顶点在函数的图象上，
，故①正确；
②点、点在函数的图象上，
，
，
△梯形，故②正确；
③根据矩形对角线相等，，根据双曲线的轴对称性，可知当点落在直线与双曲线的交点，时，最短，最短为2，所以的最小值为2，故③错误．
④向右平移的过程中角与角变化相同，这两个角刚好是矩形的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确．
故正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
32．（2024 无锡）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现，两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 2或3 ．
【答案】2或3．
【考点】坐标与图形变化平移；解一元二次方程公式法；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】，
，，
设平移后点、的对应点分别为、，
，，
、两点恰好都落在函数的图象上，
把代入得：，
解得：或．
故答案为：2或3．
33．（2024 深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则 8 ．
【答案】8．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；解直角三角形
【解析】如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
设，则，
点落在反比例函数上，
，
解得（负值舍去），
，，
，，
，
四边形为菱形，
，
，，即，
点落在反比例函数上，
，
故答案为：8．
34．（2024 绥化）如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则 ．
【答案】．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质
【解析】如图，作轴，轴，垂足分别为、，
点，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
点在反比例函数图象上，
．
故答案为：．
35．（2024 云南）已知点在反比例函数的图象上，则 5 ．
【答案】5．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】将点代入，
，
，
故答案为：5．
36．（2024 北京）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 0 ．
【答案】0．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】函数的图象经过点和，
，，
．
故答案为：0．
37．（2024 陕西）已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则 0．（填“”“ ”或“”
【答案】．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】点和点均在反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
故答案为：．
38．（2024 福建）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
【答案】．
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】根据圆和反比例函数都是中心对称图形，点与关于直线对称，
设直线的解析式为，将点坐标代入得，
，解得，
直线解析式为，
点在反比例函数图象上，
反比例函数解析式为，
联立方程组，解得或．
．
故答案为：．
39．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点，，将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ．
【答案】．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】设点坐标为，则，
，
，
由对称可知：，，
，
作轴，垂足为，
，，
，，
点在反比例函数图象上，
①，
在中，，
，即②，
由①②解得．
故答案为：．
40．（2024 湖南）在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即为常数，．若某乐器的弦长为0.9米，振动频率为200赫兹，则的值为 180 ．
【答案】180．
【考点】反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】当，时，，
．
故答案为：180．
41．（2024 广元）已知与的图象交于点，点为轴上一点，将沿翻折，使点恰好落在上点处，则点坐标为 ．
【答案】．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】由题意，在上，
．
，．
又在反比例函数上，
．
反比例函数为．
由翻折的性质，，
可设为，
为．
设直线与直线的交点为，
．
，．
又与关于直线对称，且，
，．
又在反比例函数上，
．
或（舍去）．
．
故答案为：．
42．（2024 威海）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 或 ．
【答案】或．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】由两个函数图象及交点坐标的横坐标可知：
当时，的取值范围为：或．
故答案为：或．
43．（2024 哈尔滨）已知蓄电池的电压（单位：为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压 36 ．
【答案】36．
【考点】反比例函数的应用
【解析】电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，
．
由图象可知，当时，，
．
答：蓄电池的电压是．
故答案为：36．
44．（2024 海南）某型号蓄电池的电压（单位：为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压为 64 ．
【答案】64．
【考点】反比例函数的应用
【解析】电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，
，
由图象可知，当时，，
．
故答案为：64．
45．（2024 南通）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 ．
【答案】．
【考点】反比例函数的应用
【解析】设反比例函数关系式为：，
把代入得：，
反比例函数关系式为：，
当时，则，
，
故答案为：．
46．（2024 连云港）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
【答案】．
【考点】反比例函数的应用
【解析】，
，
故答案为：．
47．（2024 山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 4 ．
【答案】4．
【考点】反比例函数的应用
【解析】设反比例函数解析式为，
机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；
，
反比例函数解析式为，
当时，，
答：当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故答案为：4．
三．解答题（共44小题）
48．（2024 贵州）已知点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】（1）将点代入，
得：，
；
（2）方法一：由图象得：；
方法二：将点，，代入，
得：，，，
．
49．（2024 山东）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系：
1
1 7
7
（1）求、的值，并补全表格；
（2）结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】（1）当时，，即，
当时，，即，
，
解得：，
一次函数为，
当时，，
当时，，即，
反比例函数为：，
当时，，
当时，，
当时，，
补全表格如下：
1
1 7
7
故答案为：7；；；
（2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，，
当的图象在的图象上方时，的取值范围为或；
50．（2024 宁夏）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
【动手操作】
列表：
1 2 3 4 5
2 1
描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象．
【探究发现】
（1）将反比例函数的图象向 左 平移 个单位长度得到函数的图象．
（2）上述探究方法运用的数学思想是 ．
．整体思想
．类比思想
．分类讨论思想
【应用延伸】
（1）将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象．
（2）函数图象的对称中心的坐标为 ．
【应用延伸】
（1）右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度；
（2）．
【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象；一次函数图象与几何变换；反比例函数的图象
【解析】【动手操作】
列表：
1 2 3 4 5
1 1
描点、连线画出函数图象如图示：
【探究发现】
（1）将反比例函数的图象向左平移 1个单位长度得到函数的图象．
故答案为：左，1；
（2）上述探究方法运用的数学思想是．
故答案为：；
【应用延伸】
（1）将反比例函数的图象先右平移2个单位长度，再向下平移1个得到函数的图象．
故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度；
（2）函数图象的对称中心的坐标为．
故答案为．
51．（2024 苏州）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点．
（1）求，的值；
（2）点为反比例函数图象上一动点（点在，之间运动，不与，重合），过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．
【考点】等腰直角三角形；反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】（1），，
．
又，
．
，
点．
设直线的函数表达式为，将，代入得：
，解得，
直线的函数表达式为．
将点代入，得．
，
将代入反比例函数解析式得：
，解得．
（2）延长交轴于点，交于点．
，，
，
轴，
，，
，
，，
，
设点的坐标为，则，，，
，
当时， 有最大值，此时．
52．（2024 乐山）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
（1）求、的值和一次函数的表达式；
（2）连结，求点到线段的距离．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】（1）点、在反比例函数图象上，
，．
又一次函数过点，，
，解得，
一次函数表达式为．
（2）如图，连结．过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．
，，
轴，．
点，，，
点，，．
在中，，
又，
即，
，即点到线段的距离为．
53．（2024 江西）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接．
（1）点的坐标为 ；
（2）求所在直线的解析式．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形
【解析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，
点坐标为，
．
又是等腰直角三角形，
，
点的坐标为．
故答案为：．
（2）将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
反比例函数解析式为．
轴，
．
将代入反比例函数解析式得，
，
点的坐标为．
令直线的函数解析式为，
将点和点的坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以直线的函数解析式为．
54．（2024 盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点坐标．
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质
【解析】（1）由图可知点的坐标为，
反比例函数图象上过点，设反比例函数关系式为，
，
反比例函数解析式为；
（2）直线的解析式为，
由图象可知，直线向上平移三个单位得到直线的解析式为，
联立方程组，解得，（舍去），
，．
55．（2024 青海）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
（1）求点，点的坐标及一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）把点代入 中
得
点的坐标为，
把点代入中，
得，
点的坐标为，
把，代入中
得，，
一次函数的解析式为．
（2）根据一次函数和反比例函数图象，可得：
的解集为或，
56．（2024 甘孜州）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点在反比例函数的图象上．
（1）求与的值；
（2）连接，并延长交反比例函数的图象于点．若一次函数的图象经过，两点，求这个一次函数的解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1），两点在反比例函数的图象上，
，
，．
（2）由（1）可知点，根据反比例函数图象的中心对称性质可得点，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为：．
57．（2024 巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为1．
（1）求的值及点的坐标．
（2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）把代入，得出，
，
，
反比例函数的解析式为，
联立解析式得，
解得或，
；
（2），
是的中点，
，
的解析式为，
当取得最小值时，，
设直线的解析式为，
代入得，
解得，
直线为，
联立解析式得，
解得，
，，
的最小值为：．
58．（2024 兰州）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）反比例函数与一次函数的图象交于点，
，，
解得：，，
一次函数解析式为：，反比例函数解析式为；
（2）将代入一次函数得，
，
将代入反比例函数得，
，
，
．
59．（2024 常州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，
，
，，
反比例函数解析式为，
一次函数的图象过、，
，解得，
一次函数解析式为．
（2）如图，设直线与轴的交点为点，
在函数中，当时，，
，即，
．
60．（2024 潍坊）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）把代入得，，
，
，
把代入得，，
，
反比例函数的表达式为；
（2）把代入得，，
，
轴，
点的横坐标为，
把代入得，，
，
，
．
61．（2024 广元）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，，两点，为坐标原点，连接，．
（1）求与的解析式；
（2）当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围；
（3）求的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）反比例函数和一次函数的图象相交于点，，两点
，
，
点， ，
，
，
把， ，代入得，
解得，
；
（2）由图象可知，当时，自变量的取值范围为或；
（3）若与轴相交于点，
，
．
62．（2024 泰安）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若，请直接写出满足条件的的取值范围；
（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）分别将点、点代入中，
即，，
解得：，，
点坐标为，点坐标为，
把点坐标，点坐标分别代入，
即
一次函数表达式为．
（2）由图象可知，
当时，或．
（3）把时代入中，
得，
点坐标为，
，
．
63．（2024 凉山州）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接、，求的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）点在正比例函数图象上，
，解得，
，
在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为．
（2）把直线向上平移3个单位得到解析式为，
直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
，
．
64．（2024 上海）在平面直角坐标系中，反比例函数为常数且上有一点，且与直线交于另一点．
（1）求与的值；
（2）过点作直线轴与直线交于点，求的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）点在直线图象上，
，解得，
，
在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，
．
．
（2）在函数中，当时，，
，
，
．
65．（2024 内江）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为，
，
，，
反比例函数解析式为，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为．
（2）由图象可知，关于的不等式的解集为：或．
66．（2024 广安）如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）把点代入，得，
反比例函数的解析式为，
把点代入 得，
，
点，在一次函数 的图象上，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）在函数中，当时，，
，
设点坐标为，则丨丨，
丨丨，
丨丨，
解得：或．
67．（2024 泸州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线与反比例函数和的图象分别交于点，，且，求点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）将点和点的坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
（2）将分别代入和得，
点的坐标为，点的坐标为，
所以．
又因为，
所以．
令直线与轴的交点为，
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，且，
所以，
所以，
解得．
因为，
所以，
则点的坐标为．
68．（2024 德阳）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）点在一次函数图象上，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为；
（2）点为在反比例函数的图象上，
，解得，
，
将直线向下平移个单位长度得到解析式为，
点在直线图象上，
，解得，
根据函数图象及交点坐标可知，不等式的解集为：．
69．（2024 遂宁）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为．
（2）由函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
所以当，的取值范围是：或．
（3）连接，令直线与轴的交点为，
将代入得，
，
所以点的坐标为，
所以．
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点和点关于点成中心对称，
所以，
所以．
70．（2024 东营）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
，
，，
反比例函数解析式为，
一次函数图象过，，
，解得，
一次函数解析式为；
（2）由图象可知，不等式的解集为：或．
（3）在一次函数中，当时，；当时，，
，
，
，
设点大坐标为，
，
解得，
点，．
71．（2024 镇江）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象交于点．（1）求和的值；
（2）已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数的图象上．当的面积与的面积相等时，直接写出点的坐标 或 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】（1）一次函数的图象过，
，
，
在函数的图象上，
，
在函数图象上，
；
（2）当时，，
，
四边形是正方形，
，
当在反比例函数的图象右半支上，
设的坐标是，
的面积与的面积相等，
，
，
，
的坐标是，
当在反比例函数的图象左半支上，
设的坐标是，
的面积与的面积相等，
，
，
，
的坐标是，
综上的坐标为或．
72．（2024 资阳）如图，已知平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点，求点的坐标，并写出直线在图中的一个特征．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1），两点在反比例函数图象上，
，，
，，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为；
（2）由题意可知，直线的解析式为，
联立方程组得，解得，，
点，
直线与直线互相垂直．
73．（2024 雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）若点是轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）由题意，，在反比例函数上，
．
反比例函数表达式为．
又在反比例函数上，
．
．
设一次函数表达式为，
．
，．
一次函数的表达式为．
（2）由题意，如图，设直线交轴于点，交轴于点，
又直线为，
，，．
，．
．
（3）由题意，如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长．
，与关于轴对称，
为，．
又，
直线为．
令，则，
．
74．（2024 赤峰）在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：当点，，满足时，称点是点的等和点．
（1）已知点，在，，中，是点等和点的有 ， ；
（2）若点的等和点在直线上，求的值；
（3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）由，得，
．
点是点的等和点．
由，得，
，，
．
不是点的等和点．
由，得，
．
点是点的等和点．
故答案为：，．
（2）由题意，设点的横坐标为，
点是点的等和点，
点的纵坐标为．
点的坐标为．
又点在直线上，
．
．
（3）由题意得，，双曲线分布在第一、第三象限．
设直线与双曲线的交点分别为点、，
如图，由的取值范围是或，
的横坐标为4，的横坐标为．
把代入得，，
．
把代入得，．
．
反比例函数的解析式为．
设，点的横坐标为，
点是点的等和点，
点的纵坐标为．
．
点在直线上，
．
．
或．
经检验，，是方程的解．
点的坐标为或．
75．（2024 湖北）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数为常数，的图象在第一象限的部分交于点．
（1）求，，的值；
（2）若是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点的横坐标的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）把点坐标代入得：，
解得，
直线解析式为，
把点坐标代入直线解析式得，
解得，
把点坐标代入反比例函数解析式得：，
解得，
反比例函数解析式为，
（2）的面积小于的面积，
，即，
点在反比例函数图象上，且在第一象限，
，
．
76．（2024 临夏州）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为．
（1）求，的值；
（2）将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）点在反比例函数图象上，
所以，解得，
将代入，
；
（2）如图，过点作轴于点，
，
，，
，
，
，，
直线向上平移个单位长度得到，
令，得，令，得，
，，
，，
，
双曲线过点，
，
解得或（舍去），
．
77．（2024 甘肃）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作轴的平行线分别交与的图象于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）因为函数的图象由函数的图象向上平移3个单位长度得到，
所以．
将点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数解析式为．
（2）将代入得，
，
解得，
所以点的坐标为．
将代入得，
，
所以点的坐标为，
所以，
所以．
78．（2024 烟台）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，．将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点，，与轴，轴交于点，，且满足，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求的值及的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）点，在直线的图象上，
，，
点，在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为；
（2）正比例函数向下平移个单位后得到直线的解析式为．
如图，作轴，轴，
，
，
，
，
设点，则，
点、在直线的图象上，
，
解得，
直线解析式为，
直线与关于直线成轴对称，
，，，，，
，
．
79．（2024 自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标；
（3）点在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出点坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）把代入得：，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得：，
，
把，代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）设直线交直线于，如图：
在中，令得，
，
的面积为21，
，即，
，
，，
的坐标为或；
（3）过作轴交直线于，如图：
设，
在中，令得，
，，
，
的面积为21，
，
即，
或，
解得或或，
经检验，，符合题意，
的坐标为，或．
80．（2024 连云港）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，点的横坐标为2．
（1）求的值；
（2）利用图象直接写出时的取值范围；
（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点，与轴交于点，再将函数的图象沿平移，使点、分别平移到点、处，求图中阴影部分的面积
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）点在 的图象上，
当时，．
，
将点代入，
得：．
（2）由（1）可知一次函数解析式为，
联立方程组，解得，，
，，
根据图象可知不等式的解集为：或．
（3）由题意可知，．
如图，过点作，垂足为，
，，
．
又，，
．
由平移性质可知，阴影部分面积就是的面积，即．
81．（2024 济南）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
（3）如图2，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】（1）将代入得，
，
将代入 得，解得，
反比例函数表达式为；
（2）设点，那么点，
由 可得，所以，
解得， （舍去），
；
（3）如图2，过点作轴，过点作于点，
过点作于点，，
，
点绕点顺时针旋转，
，，
，
，
设点，，，
点，
点在反比例函数图象上，
，
解得，（舍去）．
点．
82．（2024 吉林）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
（2）当电阻为时，求此时的电流．
【考点】反比例函数的应用
【解析】（1）设，
由题意得：，
这个反比例函数的解析式为；
（2）电阻为时，．
83．（2024 淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标．
【考点】反比例函数综合题
【解析】（1）把点代入得，
，
解得，
反比例函数的表达式为，
把点，点代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）设，
平行于轴，
，
，
，
，
解得，
，，
点的纵坐标为，
把代入得，，
点的坐标为，．
84．（2024 南充）如图，直线经过，两点，与双曲线交于点．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点作轴于点，点在轴上，若以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．
【考点】反比例函数综合题
【解析】（1）点，在直线上，
，
解得：，
直线解析式为：；
点在直线上，
，
，即点为；
双曲线 过点，
，
双曲线解析式为：；
（2）轴，，
，，
，
，
，
，
若以，，为顶点的三角形与相似，或4，
点在轴上，
点坐标为或或或．
85．（2024 河南）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象．
（3）将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 ．
【考点】反比例函数综合题
【解答】（1）反比例函数 的图象经过点，
代入得
，
这个反比例函数的表达式为．
（2）如图，
（3）由图知，令得，，
，
矩形向左平移个单位时，点落在反比例函数图象上．
86．（2024 达州）如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点是轴正半轴上的一点，且，求点的坐标．
【考点】反比例函数综合题
【解析】（1）将点、的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：，，
即反比例函数的表达式为：，点，
将点、的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
则一次函数的表达式为：；
（2）设点，
由点、、的坐标得，，，，
，
则，
即，
解得：或（舍去），
即点．
87．（2024 宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）已知点在轴上，点在反比例函数图象上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
【考点】反比例函数综合题
【解析】（1）将点、的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：，，
即反比例函数的表达式为：，点；
将点、的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
则一次函数表达式为：；
（2）观察函数图象知，当或时，成立；
（3）设点的坐标为：，点，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，则点，；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：，
则点，或，，
综上，点的坐标为：，或，或，．
88．（2024 眉山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
【考点】反比例函数综合题
【解析】（1）一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
，
，
，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
则此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，．，
，
，
解得或．
89．（2024 成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上．
（1）求，，的值；
（2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；
（3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值．
【考点】反比例函数综合题
【解析】（1）把代入得：，
，
把代入得：，
；
直线为，
把代入得：，
，
的值为4，的值为6，的值为6；
（2）设，
由（1）知，，而，
①当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
经检验，，符合题意，
此时点的坐标为；
②当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
经检验，，符合题意，
此时点的坐标为；
③当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
，
这种情况不符合题意；
综上所述，的坐标为或，的值为；
（3）如图：
设直线解析式为，把代入得：，
，
直线解析式为，
在中，令得，
，，
与点关于轴对称，
，，
，
，，
与相似，
只能在左侧，
，
故与相似，只需即可，即，
，，
，
，
解得，
经检验，满足题意，
直线的解析式为，
有且只有一点，使得与相似，
直线与反比例函数图象只有一个交点，
只有一个解，
即有两个相等实数根，
△，即，
解得，
的值为．
90．（2024 大庆）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上．点，在第一象限，四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，，，则中点坐标为，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
（3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点为的中点，过点作于点．请直接写出点坐标和的值．
【考点】反比例函数综合题
【解析】（1）四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3．
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为；
（2）设点坐标为，
，
，
是平行四边形，
，
点是边的中点，点的纵坐标为3，
点的纵坐标为，
点在反比例函数图象上，
，
由中点坐标公式可得点坐标为
，
解得或（舍去），
．
（3）将直线向上平移6个单位得到直线，
解析式为，
设直线与轴交于点，则，
如图3，作交于点，
，
，
在函数中，当时，，
，
，，
在中，由勾股定理得，
由三角形面积公式可得：，
，
，
列函数联立方程组得，解得，，
，，，，
点为的中点，
，
，
．
91．（2024 广东）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点，是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点．
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点的对应点为．当点落在轴上，且点的坐标为时，求的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形沿折叠，点的对应点为．当点，重合时，连接交于点．以点为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求的取值范围．
【考点】反比例函数综合题
【解析】（1）设，则，
轴，
点的纵坐标为，
将代入中，得：，
，
，
，
将代入中得出，，
函数的图象必经过点；
（2）点在直线上，
，
，
点的横坐标为1，点的纵坐标为2，
函数的图象经过点，，
，，
，
，
把矩形沿折叠，点的对应点为，
，，
，
如图，过点作轴，过点作轴，
轴，
，，三点共线，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
由图知，，
，
；
（3）把矩形沿折叠，点的对应点为，当点，重合，
，
四边形为矩形，
四边形为正方形，，
，，，
轴，
直线为一，三象限的夹角平分线，
，
当过点时，如图所示，过点作轴交轴于点，
轴，
，，三点共线，
以点为圆心，长为半径作，，
，
，
，，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
当过点时，根据，关于直线对称知，必过点，如图所示，连，，过点作轴交轴于点，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
当与的边有交点时，的取值范围为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
