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专题15 二次函数解答题精选
一．解答题（共57小题）
1．（2024 云南）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
（1）求的值；
（2）比较与的大小．
【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点
【解析】（1）抛物线的对称轴是直线．
．
解得；
（2）由（1）知：，
抛物线，
当时，，
解得，
是抛物线与轴交点的横坐标，
，
方法一：直接计算化简，
当时，，
，
即；
当时，，
；
由上可得，当时，；当时，．
方法二：是抛物线与轴交点的横坐标，
，
，
，
，
由，可得，
当时，，
此时；
当时，，
此时．
2．（2024 扬州）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．
（1）求、的值；
（2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点的坐标．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【解析】（1）把，代入得：，
解得；
（2）由（1）知，二次函数解析式为，
设点坐标为，
的面积为6，，
，
，
即或，
解得或，
或．
3．（2024 浙江）已知二次函数，为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化平移
【解析】（1）由题意，二次函数为，
抛物线的对称轴为直线．
．
抛物线为．
又图象经过点，
．
．
抛物线为．
（2）由题意，点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度，
平移后的点为．
又在，
．
或（舍去）．
．
（3）由题意，当 时，
最大值与最小值的差为．
，不符合题意，舍去．
当 时，
最大值与最小值的差为，符合题意．
当时，最大值与最小值的差为，解得 或，不符合题意．
综上所述，的取值范围为．
4．（2024 威海）已知抛物线与轴交点的坐标分别为，，，，且．
（1）若抛物线与轴交点的坐标分别为，，，，且，试判断下列每组数据的大小（填写、或
① ；② ；③ ．
（2）若，，求的取值范围；
（3）当时，最大值与最小值的差为，求的值．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与轴的交点
【解析】（1）与轴交点的坐标分别为，，，，且，
，且抛物线开口向上，
与轴交点的坐标分别为，，，且，
即向上平移1个单位，
，且，
①；
，即②；
，即③，
故答案为：；；；
（2），，
，
；
（3）抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，；
当时，；
①当在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，
解得（舍去）或；
②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，
解得（舍去）或，
③当时取最大值，时取得得最小值，则有
（舍去）
综上所述，的值为或
5．（2024 安徽）已知抛物线为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求的值；
（2）点，在抛物线上，点，在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求的值；
（ⅱ）若，求的最大值．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】（1）抛物线的顶点横坐标为，的顶点横坐标为1，
，
；
（2）点，在抛物线上，
，
，在抛物线上，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
将代入，
，
，
，
当，即时，取最大值．
6．（2024 福建）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式
【解析】（1）由题意，将，代入得
二次函数的表达式为．
（2）由题意，设，，，
又的面积是的面积的2倍，
，．
．
又，
．
由，
， （舍去）．
点坐标为．
7．（2024 上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．
（1）求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点；
①如果小于3，求的取值范围；
②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标．
【考点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换
【解析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，
把和代入，
可得：，解得：，
新抛物线为；
（2）①如图，设，则，
，
小于3，
，
，
，
；
②，
平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得：在的右边，当时，
轴，
，
，
由平移的性质可得：，即；
如图，当时，则，过作于，
，
△，
，
设，则，，，
，
解得：或3（不符合题意舍去）；
综上：．
8．（2024 牡丹江）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，连接．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【解析】（1）把和代入得：
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）令，则，
解得：，，
点的坐标为，
，
设直线的解析式为，代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，如图，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
最大为，
，
故答案为：．
9．（2024 山东）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设的图象与轴交点为，，，．若，求的取值范围．
【考点】二次函数的最值；二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【解析】（1）点在二次函数的图象上，
，
解得：，
抛物线为：，
抛物线的对称轴为直线，
；
（2）点在的图象上，
，
解得：，
抛物线为，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
，
，
当时，函数有最小值为1，
当时，函数有最大值为
新的二次函数的最大值与最小值的和为11；
（3）的图象与轴交点为，，，．
，，
，
，
，
即，
解得：．
10．（2024 宿迁）如图①，已知抛物线与轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值；
（3）如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）由题意得：；
而过、，
则；
（2）设点、点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：，
则；
（3）由（1）知，，
联立、得：，
解得：，
则点，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和的表达式得：，
整理得：，
则，即，
即，
即为定值．
11．（2024 黑龙江）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大．若存在，请直接写出点坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质
【解析】（1）将，代入抛物线中，
，
解得：，
抛物线．
（2）令，则，
解得：，，
，
，
，
，
过点作轴于点，
设，且在第二象限内，
，，
，
有最大值，
当时，有最大值，最大值为，
此时点的坐标为，．
12．（2024 海南）如图1，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点的坐标为时，求四边形的面积；
（3）当时，求点的坐标；
（4）过点、、的圆交抛物线于点、，如图2．连接、、，判断△的形状，并说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）由题意得：；
（2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，
如图1，连接，过点作轴交于点，则，
则四边形的面积；
（3）当时，则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：或，
解得：或或1（舍去），
故点或；
（4）如图2，连接，则为圆的直径，
连接、，则，
过点作轴的平行线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，
，，
，
，
设点，
则，，，，
，即，
解得：（经检验该值为方程的根），
则点，、点，，
则，
，
同理可得：，
故△为等边三角形．
13．（2024 镇江）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为．
（1）求、、三点的坐标；
（2）一个二次函数的图象经过、、三点，其中，该函数图象与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）．
①若点的坐标为，则 6 ；
②求的取值范围；
③求的最大值．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）二次函数的图象的顶点为，
；
令，解得或，
，；
（2）①由题知，该函数过点，，，
函数的解析式为：，
函数的对称轴为直线，
，，
点，关于对称轴对称，
，
，
故答案为：6；
②方法一、点在线段上，
，
点到对称轴的距离小于2，
设该二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，
，
，
根据对称轴的性质，得，
；
方法二、
设二次函数的解析式为：，
将，，两点代入，得，
，
，
，
二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，
，两点关于对称轴对称，点，
，
点在线段上，且与端点不重合，
，即，
时，过点，，三点的二次函数不存在，
且；
③，，
．
，
且，
时，有最大值，最大值为4．
14．（2024 济南）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为；抛物线，顶点为．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）如图1，连接，点是抛物线对称轴右侧图象上一点，点是抛物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
（3）如图2，连接，，点是抛物线对称轴左侧图象上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，，求△面积的最小值．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）抛物线过点，，
得，
解得，
抛物线的表达式为；
，
顶点；
（2）如图1，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，
设点的横坐标为．
设直线的表达式为，
由题意知，
解得，
直线的表达式为，
则，，
，
的面积为12，
，
，
，
，
，
解得， （舍，
，
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点，
，
将代入，
得，
解得，；
（3）如图2，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，
设，则，
，
抛物线的顶点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，△的面积最小，
最近距离即边上的高，高为：，
△面积的最小值为．
15．（2024 东营）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）连接，交于点，求的最大值．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）由题意得，
，
，
抛物线的表达式为：；
（2）设直线的函数表达式为：，
，
，
，
，
，
；
（3）如图1，
当时，
作，交于，
，
，
把代入得，
，
，
，
当时，，
，
．
16．（2024 常州）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点．
（1） 3 ；
（2）如图，已知点的坐标是．
①当，且时，的最大值和最小值分别是、，，求的值；
②连接，是该二次函数的图象上位于轴右侧的一点（点除外），过点作轴，垂足为，作，射线交轴于点，连接、．若，求点的横坐标．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）由抛物线的表达式知，，
即，
故答案为：3；
（2）将点的坐标代入抛物线表达式得：，则，
即抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线，顶点为：，点；
①当，且时，抛物线的时，取得最大值，即，
当时，取得最小值为，
则，
解得：（不合题意的值已舍去）；
②设点，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当点在轴上方时，如图，
，
则直线的表达式为：，
则点，
由点、、、的坐标得，，，
，即，
解得：（舍去）或1或1.5；
当点在轴下方时，
同理可得：点，
则，
解得：（舍去）或（舍去）或；
综上，点的横坐标为：1或1.5或．
17．（2024 巴中）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．
（3）如图2，连接、、，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为，，当取得最大值时，求的值．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）抛物线与轴交于点，，
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
轴于点，
，，
，
，
，
，
解得，（此时，重合，不合题意舍去），
，
；
（3），
，
，
，，
，
作交轴于，作轴交于，
直线的解析式为，，
直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
当时，有最大值，
此时，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
18．（2024 大庆）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线上方的抛物线上存在点．使得，求点的坐标；
（3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．
①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；
②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）解：将，代入，
得：，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）解：对于，令，
，
解得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，，
，
解得：（舍去）或，
；
（3）①证明：点与点重合，则，
点为中点，，，
，
设直线的解析式为，代入，，
，
解得：，
，
联立，
解得：或，
，在直线上，即，，三点共线；
②解：设，，，，
，，三点共线，
设的解析式，
联立，
消去得，，
，，
，，
设直线解析式为，直线的解析式为，
联立，
解得：，
，
，，
，，
，
而不为定值，
在直线上运动，
到轴的距离为定值8，
直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到，的距离是变化的，
的面积为是定值．
19．（2024 宁夏）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）如图2点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）把点代入 得；
解得；
抛物线的解析式为：．
（2）把代入得，，
解得或，
；
当是，，
点的坐标；
；的解析式为：；
根据题意，点的坐标为，
把代入得，．
把代入，得，
；；
，；
轴，
轴，
，
，即，
，
，
，
解得或（舍；
（3）存在，点的坐标为，或，或，或，．理由如下：
，，
直线的解析式为：，
当时，；
，；
点是轴上方抛物线上的一点，
当时，，
解得或；
当时，；
的坐标为：，或，；
当时，；
的坐标为：，或，．
综上，点的坐标为，或，或，或，．
20．（2024 资阳）已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值；
（3）如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1），
，
，，
，
，
把，，代入函数解析式得：
，
解得：，
；
（2），，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
，
设，则，，
，，，
，，
，
当时，的最大值为；
（3）令，解得：，，
，
，点为的中点，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
，
，，
，，
，
，
①取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，则：，，
设的解析式为：，
则：，解得：，
，
联立，解得：（舍去）或，
；
②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，则：，，
，，
，
，
，
，
，
过点作轴，则：，，
，
，
，
，，
，，
，设直线的解析式为：，则：，
解得：，
，
联立，
解得：（舍去）或，
；
综上：或．
21．（2024 济宁）已知二次函数的图象经过，两点，其中，，为常数，且．
（1）求，的值；
（2）若该二次函数的最小值是，且它的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点，的坐标；
②如图，在轴左侧该二次函数的图象上有一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，，．是否存在点，使若存在，求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）函数过，
，，
，
，
，，
，
．
（2）①由（1）知该函数的解析式为：，
，
当时，函数最小值为，
二次函数最小值为，
，
解得，
，
，
二次函数解析式为，
令，则，
解得，，
点坐标，点坐标．
②Ⅰ，当点在点右侧时，如图，过作于点，过作于点，
，，，
，，
，，
，
，
△和△都是以为底的三角形，
，
，
过作交轴于点，过作，则，
，
，
，
，
，
点坐标，
直线解析式为，
联立方程组可得，
解得，，
点坐标为，或，．
Ⅱ，当点在点左侧时，过作交轴于点，
同第一种情况的方法可得
直线解析式为，
联立方程组得，
解得（舍，，
点坐标为，．
综上，点的横坐标为或或．
22．（2024 辽宁）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点 “关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上．
例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点 “关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上．
（1）求函数的“升幂函数” 的函数表达式．
（2）如图1，点在函数的图象上，点 “关于的升幂点” 在点上方，当时，求点的坐标．
（3）点在函数的图象上，点 “关于的升幂点”为点，设点的横坐标为．
①若点与点重合，求的值；
②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数” 的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式；
③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1），图象如图2所示．
（2）如图3，
，
设，．
因为点在点的上方，
当时，
解得．
所以．
（3）①因为，
所以，．
如果点与点重合，那么．
整理，得．
解得，或．
②由①可知，直线与抛物线有两个交点和，
如图4所示，函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线．
因为轴，所以、两点关于直线对称．
如图4，当点在点右侧时，，，
如图5，当点在点左侧时，，，
由点在点的上方，得，
当时，，
当时，．
综上，或．
③情形一：如图7，如果和平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于、两点间的竖直高度．
当时，，所以．
当时，，所以．
所以．
情形2，如图7（局部，变形处理），点是抛物线的顶点．
由，得，
所以，
所以点的横坐标，
于是可得，
所以．
综上，或．
23．（2024 甘孜州）【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 2 ， ．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值；
②若抛物线与轴有两个不同的交点，，，，请直接写出的取值范围．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）由题意，二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
，，
，，
故答案为：2；；
（2）①由题意，，
抛物线的顶点为，
又始终是的伴随抛物线，
可令，顶点为；，顶点为，
，
，；
②与轴有两个不同的交点，，，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
顶点坐标在图象上滑动，顶点为，
当时，解得：或，
抛物线与轴交于，，两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，；
若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上，
在上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．
24．（2024 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）抛二次函数经过，，，
将三点坐标代入解析式得，
解得：，，，
二次函数的解析式为：；
直线经过、两点，设直线解析式为：，
将、两点代入得，
解得：，，
直线解析式为：，
点是直线与轴交点，
令，则，
．
（2）①点在直线上方，
，
由题知，，
，
当时，是最大值．
②存在，理由如下：
，，
，
是直角三角形，
要使与相似，只有保证是直角三角形就可以．
（Ⅰ）当时，
，
，
此时轴，、关于对称轴对称，
；
（Ⅱ）法一：当时，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
由①知，
，，
，
，
，
解得，（舍，
．
法二：当时，
，
过作轴，作，作，
则易证，
，
，，，，
，
解得，（舍，
．
法三：当时，
，
，
，
，
直线的解析式为：，
联立方程组得，
解得：或，
综上，存在点使与相似，此时的坐标为或．
25．（2024 长沙）已知四个不同的点，，，，，，，都在关于的函数，，是常数，的图象上．
（1）当，两点的坐标分别为，时，求代数式的值；
（2）当，两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当时，该函数图象与轴交于，两点，且，，，四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注表示一条长度等于的倍的线段）．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）将，代入得，
②①得，即．
．
（2）此函数图象与轴的公共点个数为两个．
方法1：由，
得，
，，
①当时，，此抛物线开口向上，而，两点之中至少有一个点在轴的下方，
此时该函数图象与轴有两个公共点；
②当时，，此抛物线开口向下，而，两点之中至少有一个点在轴的上方，
此时该函数图象与轴也有两个公共点．
综上所述，此函数图象与轴必有两个公共点．
方法2：由，
得，
，，
抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解．
该方程根的判别式，即．
，所以．
原函数图象与轴必有两个公共点．
方法3：由，
可得或．
①当时，有，即，
．
此时该函数图象与轴有两个公共点．
②当时，同理可得△，此时该函数图象与轴也有两个公共点．
综上所述，该函数图象与轴必有两个公共点．
（3）因为，所以该函数图象开口向上．
，
，
．
，
，
，
直线，均与轴平行．
由（2）可知该函数图象与轴必有两个公共点，
设，，，．
由图象可知，即，
的两根为、，
，
同理的两根为、，可得，
同理的两根为、，可得，
由于，结合图象与计算可得，．
若存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为，则此三角形必定为两锐角分别为 、 的直角三角形，
线段不可能是该直角三角形的斜边．
①当以线段为斜边，且两锐角分别为，时，
，
必须同时满足：，．
将上述各式代入化简可得，且，
联立解之得，，
解得，符合要求．
，此时该函数的最小值为．
②当以线段为斜边时，必有，
同理代入化简可得，
解得，
以线段为斜边，且有一个内角为，而，
，即，
化简得符合要求．
，此时该函数的最小值为．
综上所述，存在两个的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为，当时，此时该函数的最小值为．
26．（2024 广元）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线上方抛物线上有一动点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）作抛物线关于直线上一点的对称图象，抛物线与只有一个公共点（点在轴右侧），为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）将，代入，
得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）如图1，过点作轴的垂线交于点，则轴，
，
，
设的解析式为，
把，代入解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，有最大值，此时 的最大值为，
此时点的坐标为，；
（3）由中心对称可知，抛物线与的公共点为直线与抛物线的右交点，
当时，解得（舍或，
，
抛物线 的顶点坐标为，
抛物线的顶点坐标为，
设，
当为平行四边形的对角线时，，解得，
；
当为平行四边形对角线时，，
；
当为平行四边形的对角线时，时，解得，
；
综上所述：点坐标或或．
27．（2024 长春）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2；
（3）作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结．
①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；
②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）解：将点代入抛物线解析式得：，
，
抛物线解析式为：．
（2）证明：，，，
①当时，如图1，作于点，
；
②当时，如图2，作于点，
；
综上，当取不为零的任意实数时，的值始终为2．
（3）解：①，
对称轴，
由题可得，，，
四边形是菱形，且与对称轴重合，
，
，
，
，，
，
，，
．
②（Ⅰ）如图3，当，且过顶点时，
，即，
，
整理得，
或，
或；
（Ⅱ）如图4，当，且过顶点时，
，即，
，
整理得，
或，
；
综上，或或．
28．（2024 泰安）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点，点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
（3）在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由题意得：，
当时，，
故点在抛物线上；
（3）存在，理由：
当为直角时，
如图1，过点作且，则为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
则，，
则点，
当时，，
即点在抛物线上，
即点即为点；
当为直角时，如图2，
同理可得：，
则，，
则点，
当时，，
即点在抛物线上，
即点即为点；
当为直角时，如图3，
设点，
同理可得：，
则且，
解得：且，即点，
当时，，
即点不在抛物线上；
综上，点的坐标为：或．
29．（2024 雅安）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
，
故有最大值，
此时，则，
即点，；
（3）存在，理由：
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
过点作轴交轴于点，则，
，，
则，
即直线和关于直线对称，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或5，
即点；
设点，由、、的坐标得，，，，
当时，
则，
解得：，即点；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或；
综上，点或或．
30．（2024 广州）已知抛物线过点，和点，，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求的值；
（3）直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．
①求的值；
②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线；
（2）直线过点，则该直线的表达式为：，
当时，，
则，
，即，
其中，，上式变为：，
即，
而函数的对称轴为直线，由函数的对称性知，，
即，
则，
解得：；
（3）①当时，一次函数的表达式为：，
该直线和轴的夹角为，
则（秒；
②由①知，为：，如图：
则，
联立直线和抛物线的表达式得：，
即，
设点、的横坐标为，，
则，，
则，
则，
当时，等号成立，
即的最大值为：，，
则抛物线的表达式为：．
31．（2024 吉林）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入的值为时，输出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出的值为6．
（1）直接写出，，的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图（2）．
Ⅰ．当随的增大而增大时，求的取值范围．
Ⅱ．若关于的方程为实数），在时无解，求的取值范围．
Ⅲ．若在函数图象上有点，与不重合）．的横坐标为，的横坐标为．小明对，之间（含，两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）解：，
将， 代入，得：，解得：，
，，
将，和，分别代入 得：，
解得：；
故：，，．
（2）解：，，，
一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，
当时，，其对称轴为直线，开口向上，
时，随着的增大而增大；
当时，，，
时，随着的增大而增大，
综上，的取值范围：或；
Ⅱ：在时无解，
，在时无解，
问题转化为抛物线 与直线在时无交点，
对于 ，当时，，
顶点为，
如图：
当时，抛物线 与直线在时正好一个交点，
当时，抛物线 与直线在时没有交点；
当，，
当时，抛物线 与直线在时正好一个交点，
当时，抛物线 与直线在时没有交点，
当或时，抛物线 与直线在时没有交点，
即：当或时，关于的方程 为实数），在时无解；
Ⅲ：，，
，
直线与直线关于直线 对称，
当，，
当时，，
当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，而当 时，， 时，，
①当 如图：
由题意得：，
；
②当 ，如图：
由题意得：，
，
综上：或．
32．（2024 包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接，．当点的坐标为时，求证：；
（3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）解：顶点为，
，
，
，
将点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）证明：，
，
过点作轴交于点，
，，
，，，
，
是直角三角形，且，
，
在中，，
；
（3）解：，理由如下：
，
，
过点作轴交于点，
，
，
当时，，
解得或，
，
，
解得，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，，
，，
设点到的距离为，
，，
．
33．（2024 深圳）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为，轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为，读数为，抛物线的顶点为．
（1）
（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
0 2 3 4 5 6
0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式；
（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为 ， ；
②将点坐标代入中，解得 ；（用含，的式子表示
方案二：设点坐标为．
①此时点的坐标为 ；
②将点坐标代入中解得 ；（用含，的式子表示
（3）【应用】已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，二次函数和都经过，两点，且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）描点连线绘制函数图象如下：
抛物线过点，故设抛物线的表达式为：，
将、代入上式得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，；
（2）方案一：
点，；
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
则；
故答案为：，，；
方案二：
点，，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：；
故答案为：，，；
（3）对于二次函数，
由得：，
解得：，
则距线段的距离的，
当时，则；
当时，同理可得：，
综上，．
34．（2024 齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过，两点的抛物线与轴的另一个交点为点，点是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点分别作轴和轴的平行线，分别交直线于点，点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标；
（3）当时，求点的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点是轴上的一个动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，则的最小值为 ．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，则点、的坐标分别为：、，
则抛物线的表达式为：，
则，则，
则抛物线的表达式为：；
（2）设点，
由点、、的坐标得，，，，
则或，
即或，
解得：或4（舍去）或，
即点，或；
（3）设点，
当，则，即点，，
、、、共线，，
则，
即，
解得：，
即点；
（4）作点关于轴的对称点，将点向右平移的长度），得到点，，
连接交抛物线对称轴于点，过点作轴于点，连接，
且，则四边形为平行四边形，则，
则为最小，最小值为，
故答案为：．
35．（2024 绥化）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）过点作轴交抛物线于点．连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）抛物线过点，，
，
解得：，
该抛物线的函数解析式为；
（2）存在．理由如下：
轴，且，
点的纵坐标为1，
，
解得：（舍去），，
，
过点作于，设直线交轴于点，如图，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
或，
，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，（舍去），
由，解得，（舍去），
，，，，
综上所述，满足条件的点的坐标为，，，；
（3），
原抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线，
，
联立得，
解得：，
，
又，
设，，
当、为对角线时，
则，
解得：，
；
当、为对角线时，
则，
解得：或，
与点重合，不符合题意，舍去，或；
当、为对角线时，
则，
解得：或，
或；
综上所述，点的坐标为或或或．
36．（2024 武汉）抛物线交轴于，两点在的右边），交轴于点．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交轴于点．若平分线段，求点的坐标；
（3）如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）在中，令得，
，
令得，
解得或，
，；
（2）设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
设，
，
，
直线的解析式为，
令得，
；
平分线段，
的中点，在直线上，
由，得直线解析式为，
，
解得或（舍去），
；
（3）过点作轴，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，如图：
，
，
，
，
，
点与原点关于对称，
，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
联立得：，
，
联立 得：，
，
设，，，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
解得，
直线解析式为．
37．（2024 湖北）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求的值；
（2）如图，是第一象限抛物线上的点，，求点的横坐标；
（3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为，与轴交于点，设的顶点横坐标为，的长为．
①求关于的函数解析式；
②与轴围成的区域记为，与△内部重合的区域（不含边界）记为，当随的增大而增大，且内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）二次函数与轴交于，
，
解得：；
（2），
二次函数表达式为：，
令，解得或，令得，
，，，
设，
作轴于点，如图，
，
，即，
解得或（舍去），
的横坐标为；
（3）①将二次函数沿水平方向平移，
纵坐标不变为4，
图象的解析式为，
，
，
；
②由①得，画出大致图象如下，
随着增加而增加，
或，
△中含，，三个整点（不含边界），
当内恰有2个整数点，时，
当时，，当时，，
，
，或，
，
或，
；
当内恰有2个整数点，时，
当时，，当时，，
，
或，，
，
或，
；
当内恰有2个整数点，时，此种情况不存在，舍去．
综上所述，的取值范围为或．
38．（2024 湖南）已知二次函数的图象经过点，点，，，是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接，，．若，求证：的值为定值；
（3）如图2，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
则，
即抛物线的表达式为：；
（2）证明：令，则，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点、、的表达式分别为：，、，、，，
则，
同理可得：，
则为定值；
（3）解：点、的表达式分别为：，、，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则，
故的最大值为：．
39．（2024 临夏州）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）抛物线与轴交于，两点，
，
解得，抛物线的解析式为；
（2）过点作于点，交于点．
，，
直线的解析式为，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的值最大时，的值最大，
设，则，
，
，
当时，的值最大，的最大值，
的最大值，此时，；
（3）设，则，
当点在抛物线上时，，
，
解得，．
线段与抛物线有交点，
满足条件的点的横坐标的取值范围为：或．
40．（2024 河北）如图，抛物线过点，顶点为．抛物线（其中为常数，且，顶点为．
（1）直接写出的值和点的坐标．
（2）嘉嘉说：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上．
淇淇说：无论为何值，总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当时，
①求直线的解析式；
②作直线，当与的交点到轴的距离恰为6时，求与轴交点的横坐标．
（4）设与的交点，的横坐标分别为，，且，点在上，横坐标为．点在上，横坐标为，若点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，直接用含和的式子表示．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）抛物线过点，顶点为，
，
解得，
抛物线为，
；
（2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为，
当时，，
在上，
嘉嘉说法正确；
，
当时，，
，
过定点，
淇淇说法正确；
（3）①当时，，
顶点，
而，
设为，
，
解得，
为；
②，
到轴的距离为6，
与交点的纵坐标为，
当时（等于6两直线重合不符合题意），
，
，
直线的解析式为，
当时，，
解得，
时，，
设与轴交点横坐标为，
则，
解得，
此时直线与轴交点的横坐标为；
，
解得，
此时直线与轴交点的横坐标为．
综上，直线与轴交点的横坐标为或；
（4），，
是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，
如图，连接交于，连接，，，，
四边形是平行四边形，
当点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，此时与重合，与重合，
，，
的横坐标为，，，
的横坐标为，
，
解得．
41．（2024 苏州）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，．
（1）求图象对应的函数表达式；
（2）若图象过点，点位于第一象限，且在图象上，直线过点且与轴平行，与图象的另一个交点为在左侧），直线与图象的交点为，在左侧）．当时，求点的坐标；
（3）如图②，，分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点作，交图象于点，连接，当时，求图象对应的函数表达式．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）将，，0代入得，
解得，
图象对应的函数表达式：；
（2）设对应的函数表达式为，将点代入得，．
对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．
又图象的对称轴也为直线．
作直线，交直线于点（如答图①
由二次函数的对称性得，，，
又，
．
设，则点的横坐标为，点的横坐标为，
将代入，得，
将代入，得，
，
，
即，解得， （舍去）．
点的坐标为，；
（3）连接，交轴于点，过点作于点，过点作轴于点，（如答图②，
，轴，
四边形为矩形，
，，
设对应的函数表达式为，
点，分别为二次函数图象，的顶点，
，．
，，，
在中，，
，
，
又，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
①，
点在上，，
即，
，
②，
由①，②可得，
解得（舍去），，
，
图象对应的函数表达式为．
42．（2024 烟台）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线．将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．
（1）分别求抛物线和的表达式；
（2）如图1，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，，求的最小值；
（3）如图2，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）设点、的坐标分别为：、，
则，
解得，
即点、的坐标分别为：、，
，则点，
则抛物线得表达式为：，
则，则，
则；
根据图形的对称性，；
（2）作点关于的对称点，将点向右平移2个单位，连接交直线于点，过点作交于点，连接，
，，则四边形平行四边形，则，
则为最小；
（3）由抛物线的表达式知，点、点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当点在的右侧时，
，则和关对称轴对称，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线得表达式得：，
解得：（舍去）或3，
即点；
当点在的左侧时，见如图右侧放大图，设直线交轴于点，
，
过点作的角平分线交于点，
作的中垂线，交于点，交于点，过点作交于点
则，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点，，
直线的表达式为：，
则点，则，
，，
，
则，
设，则，
则点，
在中，，
即，
解得：，
则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：，
则点，；
综上，点的坐标为：或，．
43．（2024 甘肃）如图1，抛物线交轴于，两点，顶点为，，点为的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为，交抛物线于点．求线段的长．
（3）点为线段上一动点点除外），在右侧作平行四边形．
①如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，，求的最小值．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）由题意得：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）由（1）知，，
由中点坐标公式得点，
当时，，
则；
（3）①由（2）知，，
当时，，
则（不合题意的值已舍去），
即点，；
②方法一：
设点，则点，
过点作直线轴，作点关于直线的对称点，，连接，
则，当、、共线时，为最小，
由定点、的坐标得，直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则点，，点，，
则最小值为：；
方法二：作点关于轴的对称点，
则，
则，
则，当、、共线时，为最小，
则；
44．（2024 凉山州）如图，抛物线与直线相交于，两点，与轴相交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与、重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标；
（3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）把代入得：，
，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设，则，，
，
，
解得或（此时不在直线上方，舍去）；
的坐标为；
（3）抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下：
过作轴交直线于，如图：
在中，令得，
解得或，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
的面积等于面积的一半，
，
，
或，
解得或，
的坐标为，或，或，或，．
45．（2024 眉山）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得小于0，舍去）或，
，
的坐标为，；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为，；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为，；
综上所述，的坐标为或，或，或，．
46．（2024 内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）令，则，
则；
令，则，
，，
把，代入，
得，
解得，
抛物线所对应的函数表达式为；
（2）存在点，使得和相似，
设点，则，，，
，，，，，
和相似，，
或，
①如图，当时，，
，
点纵坐标为6，
，
解得或，
；
②如图，当时，，
过作于，
，
，
，
，
解得（舍去）或，
，
综上所述，点的坐标为或．
（3）如图，四边形为菱形，
，，，
设点，，，，
，，
，
即，
，
，
即或，
，，
，，
，
过点作于，
，
，
，
即，
，
，
，
，
解得（不合题意，舍去）或，
，
点的横坐标为．
47．（2024 达州）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点、，抛物线的对称轴为直线，
过点作直线交轴于点，在点上方取点使，过点作直线交抛物线于点，则点为所求点，
由点、坐标得，直线的表达式为：，
，
则直线的表达式为：，
则点，则，则，
则点，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：或，
即点或；
（3）存在，理由：
设点，
由点、、的坐标得，，，，
当时，
则，
解得：，
则点；
当或时，
则或，
解得：或（不合题意的值已舍去），
则点或，
综上，或或．
48．（2024 广安）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为，
．
（2）当时，，
，
设直线为，
，
解得，
直线为，
设，
，
，
当时，有最大值，
此时．
（3）如图，以为对角线作正方形，
，
，与抛物线的另一个交点即为，
如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，
，
，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
由可得，
解得，
，
设为，
，
解得，
直线为，
，
解得或，
，，，，正方形．
，
同理可得直线为，
，
解得或，
，
综上，点的坐标为或．
49．（2024 连云港）在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，．（1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点、，连接、．求证：平分；
（3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）解：抛物线与轴交于、两点，
分别将，代入中，
得，
解得，
抛物线对应的函数表达式为．
（2）证明：连接，如图，
，
，
当时，，
，
当时，，
，
，，
，，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（3）解：设，则，，
当时，，
过直线上一点作轴的平行线，
令，
解得，．
，
，
点在的上方，如图，
设，则，
其对称轴为，且，
①当时，即，
由图可知，
当时，取得最大值，
解得或（舍去），
②当时，得，
由图可知，
当时，取得最大值，
解得（舍去），
综上所述，的值为．
50．（2024 泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，的取值范围是，求的值；
（3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1），抛物线的对称轴为直线，则抛物线和轴的另外一个交点为：，
则抛物线的表达式为：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）当时，
时，，取得最小值，
则小于时，取得最大值，
而抛物线的顶点处取得最大值，
抛物线的顶点坐标为：，
即，
解得：；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点，
①当为菱形对角线时，对应菱形为，
则，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，点，
则，，，
，
解得：或（舍去），
则，
即菱形的边长为：．
②当为菱形的对角线时对应菱形为菱形，
则，
，
解得：或（舍去），
则，
即菱形的边长为：2．
综上，菱形的边长为：或2．
51．（2024 重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点在的左侧），连接，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）由抛物线的表达式知，，
，则，
即点，
由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点、、的坐标分别为：、、，则点，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
当时，取得最大值，则点、，则，
将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接，
则四边形为平行四边形，则，
则此时为最小；
（3）将该抛物线沿射线方向平移，当向左平移个单位时，则向下平移了个单位，
则新抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则新抛物线的表达式为：，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当点在下方时，
，则，
则直线和表达式中的值相同，
而过点，
则直线的表达式为：，
联立上式和新抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或，
即点；
当点在上方时，
同理可得，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和新抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或，
即点，；
综上，点的坐标为：或，．
52．（2024 成都）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段的长；
（2）当时，若的面积与的面积相等，求的值；
（3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到△．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）在中，令得，
，
，
或，
，，
；
（2）当时，过作轴交轴于，轴交于，如图：
，
，
由，得直线解析式为，
设，，
在中，令得，
，，
，
；
的面积与的面积相等，
而，
，
解得（舍去）或，
，，
，，
；
的值为；
（3）抛物线与交于定点，理由如下：
过作轴于，如图：
设，则，，
，
，
将沿方向平移得到△，相当于将向右平移个单位，再向上平移个单位，
又，，，
，，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线解析式为，
由，
解得：，
抛物线与交于定点．
53．（2024 宜宾）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）在轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点在以点为圆心，1为半径的上，连结，以为边在的下方作等边三角形，连结．求的取值范围．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）把，代入得：
，
解得，
抛物线的表达式为；
，
抛物线顶点的坐标为，；
（2）在轴上存在一点，使得的周长最小，理由如下：
作，关于轴的对称点，，连接交轴于，如图：
在中，令得，
解得或，
，
，
的周长最小，只需最小，
，
，
，，共线时，最小，最小值为的长，此时的周长也最小；
由，，得直线解析式为，
令得，
的坐标为；
（3）以为边，在下方作等边三角形，连接，，，如图：
由，，是等边三角形，可得的坐标为，
，是等边三角形，
，，，
，
，
，
的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
，
，
当在线段上时，最小，此时；
当在线段上时，最大，此时；
的范围时．
54．（2024 南充）已知抛物线与轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值．
（3）如图2，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）把，代入得：
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设，直线解析式为，
把，代入得：
，
解得：
直线解析式为，
联立得，
解得或，
，
同理可得，，
，，
；
的值为；
（3）作点关于直线的对称点，连接，过点作于，如图：
抛物线的对称轴为直线，
，
设直线解析式为，
把代入得：，
，
直线解析式为，
设，，
联立，可得，
，，
，关于直线对称，
，
，
，
，，
在中，
，
当时，最小80，此时，
，
的最小值为．
55．（2024 遂宁）二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点，、为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当、两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
（3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）是以点为直角顶点的直角三角形时，
抛物线的对称轴为直线，
则点、关于抛物线对称轴对称，
则点，
设，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
，；
（3）存在，理由：
设点，则点，，设直线交轴于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，
则，
则，
则，
即存在最小值为．
56．（2024 重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【解析】抛物线 与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线，
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）如图，延长交轴于，过作轴于，
在中，令得，
解得：，，
，
当时，，
，
，
，
轴，
，
，
，
由，得直线为，
设 ，则，
，
抛物线 的对称轴为直线，
，
，
，
当时，取得最大值，最大值为，此时；
（3）抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
新的抛物线为，的坐标为，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
由，得直线解析式为，
当 时，，
，
，
，
，
，
，
设，
，
解得： 或 （舍去），
；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作于，
同理可得，
设，则，
同理可得：，
或 （舍去），
，
综上所述，的坐标为，或，．
57．（2024 哈尔滨）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，点坐标．
（1）求．的值；
（2）如图1，点为第二象限内抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，△的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，，点在上，，交于点，，点在第二象限，连接，，连接，过点作的垂线，交过点且平行的直线于点，连接交于点，过点作轴的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，，连接并延长交抛物线于点，，点在△内，连接，，，，交的延长线于点，，求直线的解析式．
【考点】二次函数综合题
【解析】（1）将点和点代入抛物线得，
，
，
；
（2）；
（3）如图1，
作轴于，连接，连接，作于，作于，作轴于，延长，交于，
则，
把代入得，，
，
，
，
，
，
，
△是等腰直角三角形，
可得四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
点、、共线，
，，
，
点、、、共圆，
，，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，，
设，，
，，
，，
，
△△，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
，，
，，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
作于，
由得，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，，
设，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
如图2，
延长，交于，作于，交于，设交轴于，
，，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，
，
，，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
，
，
．
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专题15 二次函数解答题精选
一．解答题（共57小题）
1．（2024 云南）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
（1）求的值；
（2）比较与的大小．
2．（2024 扬州）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．
（1）求、的值；
（2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点的坐标．
3．（2024 浙江）已知二次函数，为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
4．（2024 威海）已知抛物线与轴交点的坐标分别为，，，，且．
（1）若抛物线与轴交点的坐标分别为，，，，且，试判断下列每组数据的大小（填写、或
① ；② ；③ ．
（2）若，，求的取值范围；
（3）当时，最大值与最小值的差为，求的值．
5．（2024 安徽）已知抛物线为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求的值；
（2）点，在抛物线上，点，在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求的值；
（ⅱ）若，求的最大值．
6．（2024 福建）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
7．（2024 上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．
（1）求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点；
①如果小于3，求的取值范围；
②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标．
8．（2024 牡丹江）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，连接．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为 ．
9．（2024 山东）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设的图象与轴交点为，，，．若，求的取值范围．
10．（2024 宿迁）如图①，已知抛物线与轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值；
（3）如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
11．（2024 黑龙江）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大．若存在，请直接写出点坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
12．（2024 海南）如图1，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点的坐标为时，求四边形的面积；
（3）当时，求点的坐标；
（4）过点、、的圆交抛物线于点、，如图2．连接、、，判断△的形状，并说明理由．
13．（2024 镇江）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为．
（1）求、、三点的坐标；
（2）一个二次函数的图象经过、、三点，其中，该函数图象与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）．
①若点的坐标为，则 ；
②求的取值范围；
③求的最大值．
14．（2024 济南）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为；抛物线，顶点为．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）如图1，连接，点是抛物线对称轴右侧图象上一点，点是抛物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
（3）如图2，连接，，点是抛物线对称轴左侧图象上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，，求△面积的最小值．
15．（2024 东营）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）连接，交于点，求的最大值．
16．（2024 常州）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点．
（1） ；
（2）如图，已知点的坐标是．
①当，且时，的最大值和最小值分别是、，，求的值；
②连接，是该二次函数的图象上位于轴右侧的一点（点除外），过点作轴，垂足为，作，射线交轴于点，连接、．若，求点的横坐标．
17．（2024 巴中）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．
（3）如图2，连接、、，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为，，当取得最大值时，求的值．
18．（2024 大庆）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线上方的抛物线上存在点．使得，求点的坐标；
（3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．
①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；
②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
19．（2024 宁夏）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）如图2点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2024 资阳）已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值；
（3）如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
21．（2024 济宁）已知二次函数的图象经过，两点，其中，，为常数，且．
（1）求，的值；
（2）若该二次函数的最小值是，且它的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点，的坐标；
②如图，在轴左侧该二次函数的图象上有一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，，．是否存在点，使若存在，求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2024 辽宁）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点 “关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上．
例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点 “关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上．
（1）求函数的“升幂函数” 的函数表达式．
（2）如图1，点在函数的图象上，点 “关于的升幂点” 在点上方，当时，求点的坐标．
（3）点在函数的图象上，点 “关于的升幂点”为点，设点的横坐标为．
①若点与点重合，求的值；
②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数” 的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式；
③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值．
23．（2024 甘孜州）【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值；
②若抛物线与轴有两个不同的交点，，，，请直接写出的取值范围．
24．（2024 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024 长沙）已知四个不同的点，，，，，，，都在关于的函数，，是常数，的图象上．
（1）当，两点的坐标分别为，时，求代数式的值；
（2）当，两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当时，该函数图象与轴交于，两点，且，，，四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注表示一条长度等于的倍的线段）．
26．（2024 广元）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线上方抛物线上有一动点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）作抛物线关于直线上一点的对称图象，抛物线与只有一个公共点（点在轴右侧），为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．
27．（2024 长春）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2；
（3）作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结．
①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；
②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
28．（2024 泰安）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点，点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
（3）在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2024 雅安）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2024 广州）已知抛物线过点，和点，，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求的值；
（3）直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．
①求的值；
②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
31．（2024 吉林）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入的值为时，输出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出的值为6．
（1）直接写出，，的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图（2）．
Ⅰ．当随的增大而增大时，求的取值范围．
Ⅱ．若关于的方程为实数），在时无解，求的取值范围．
Ⅲ．若在函数图象上有点，与不重合）．的横坐标为，的横坐标为．小明对，之间（含，两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围．
32．（2024 包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接，．当点的坐标为时，求证：；
（3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
33．（2024 深圳）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为，轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为，读数为，抛物线的顶点为．
（1）
（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
0 2 3 4 5 6
0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式；
（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为．
此时点的坐标为 ；
②将点坐标代入中，解得 ；（用含，的式子表示
方案二：设点坐标为．
①此时点的坐标为 ；
②将点坐标代入中解得 ；（用含，的式子表示
（3）【应用】已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，二次函数和都经过，两点，且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值．
34．（2024 齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过，两点的抛物线与轴的另一个交点为点，点是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点分别作轴和轴的平行线，分别交直线于点，点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标；
（3）当时，求点的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点是轴上的一个动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，则的最小值为 ．
35．（2024 绥化）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）过点作轴交抛物线于点．连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
36．（2024 武汉）抛物线交轴于，两点在的右边），交轴于点．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交轴于点．若平分线段，求点的坐标；
（3）如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式．
37．（2024 湖北）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求的值；
（2）如图，是第一象限抛物线上的点，，求点的横坐标；
（3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为，与轴交于点，设的顶点横坐标为，的长为．
①求关于的函数解析式；
②与轴围成的区域记为，与△内部重合的区域（不含边界）记为，当随的增大而增大，且内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围．
38．（2024 湖南）已知二次函数的图象经过点，点，，，是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接，，．若，求证：的值为定值；
（3）如图2，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值．
39．（2024 临夏州）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
40．（2024 河北）如图，抛物线过点，顶点为．抛物线（其中为常数，且，顶点为．
（1）直接写出的值和点的坐标．
（2）嘉嘉说：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上．
淇淇说：无论为何值，总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当时，
①求直线的解析式；
②作直线，当与的交点到轴的距离恰为6时，求与轴交点的横坐标．
（4）设与的交点，的横坐标分别为，，且，点在上，横坐标为．点在上，横坐标为，若点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，直接用含和的式子表示．
41．（2024 苏州）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，．
（1）求图象对应的函数表达式；
（2）若图象过点，点位于第一象限，且在图象上，直线过点且与轴平行，与图象的另一个交点为在左侧），直线与图象的交点为，在左侧）．当时，求点的坐标；
（3）如图②，，分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点作，交图象于点，连接，当时，求图象对应的函数表达式．
42．（2024 烟台）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线．将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．
（1）分别求抛物线和的表达式；
（2）如图1，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，，求的最小值；
（3）如图2，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
43．（2024 甘肃）如图1，抛物线交轴于，两点，顶点为，，点为的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为，交抛物线于点．求线段的长．
（3）点为线段上一动点点除外），在右侧作平行四边形．
①如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，，求的最小值．
44．（2024 凉山州）如图，抛物线与直线相交于，两点，与轴相交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与、重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标；
（3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
45．（2024 眉山）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2024 内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标．
47．（2024 达州）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
48．（2024 广安）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
49．（2024 连云港）在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，．（1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点、，连接、．求证：平分；
（3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值．
50．（2024 泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，的取值范围是，求的值；
（3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
51．（2024 重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点在的左侧），连接，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
52．（2024 成都）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段的长；
（2）当时，若的面积与的面积相等，求的值；
（3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到△．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
53．（2024 宜宾）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）在轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点在以点为圆心，1为半径的上，连结，以为边在的下方作等边三角形，连结．求的取值范围．
54．（2024 南充）已知抛物线与轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值．
（3）如图2，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．
55．（2024 遂宁）二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点，、为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当、两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
（3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
56．（2024 重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
57．（2024 哈尔滨）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，点坐标．
（1）求．的值；
（2）如图1，点为第二象限内抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，△的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，，点在上，，交于点，，点在第二象限，连接，，连接，过点作的垂线，交过点且平行的直线于点，连接交于点，过点作轴的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，，连接并延长交抛物线于点，，点在△内，连接，，，，交的延长线于点，，求直线的解析式．
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