2024-2025学年江苏省南京一中高三（上）暑期测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京一中高三（上）暑期测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合且，则称，构成的一个二次划分，任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，，，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合这样我们得到集合，称作模的剩余类集模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，，其中为除以的余数，根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域、那么下面说法错误的是( )
A. 能构成素域当且仅当是素数 B.
C. 是最小的素域元素个数最少 D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条伴 D. 既不充分也不必要条件
3.已知复数满足，则，，，，中不同的数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 以上答案都不正确
4.若单位向量满足，向量满足，则( )
A. B. C. D.
5.到世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值例如，把方程改写成，将再代入等式右边得到，继续利用式将再代入等式右边得到反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数数列的前项中，满足的的个数为参考数据：( )
A. B. C. D.
6.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，点在侧面内运动包含边界，且与平面所成角的正切值为，则所有满足条件的动点形成的轨迹长度为( )
A.
B.
C.
D.
7.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打局，当两人获胜局数不少于局时，则认为这轮训练过关；否则不过关若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. 数列是递增数列 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在五面体中，四边形是矩形，和均是等边三角形，且，，则( )
A. 平面
B. 二面角随着的减小而减小
C. 当时，五面体的体积最大值为
D. 当时，存在使得半径为的球能内含于五面体
10.已知椭圆：，双曲线：，椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则( )
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 的内心为，到轴的距离为
D. 的内心为，过右焦点作直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆
11.已知函数定义域为，满足，当时，若函数的图象与函数的图象的交点为，，，，其中表示不超过的最大整数，则( )
A. 是偶函数 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.是双曲线，求的范围______．
13.若数列满足对任意，数列的前项至少有项大于，且，则称数列具有性质若存在具有性质的数列，使得其前项和恒成立，则整数的最小值是______．
14.黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于年提出，是至今仍末解决的世界难匙．黎曼猜想研究的对象是类似于的无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手．请你回答以下问题：
______；其中表示不超过的最大整数，如，
已知正项数列的前项和为，且满足，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
讨论的单调性．
证明：当时，．
证明：．
16.本小题分
有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有类，这类元素中每类分别中，，，个，，将这个元素全部取出的排列叫做个不尽相异元素的全排列．
求上述个不尽相异的元素的全排列数；
由结论，回答“个球队与个球队各比赛次，共有场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？”
17.本小题分
如图，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置．
如图，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围；
我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上不包含端点，且为，的公垂线，如图所示，记四面体的内切球半径为，证明：．
18.本小题分
已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，，且，记点的轨迹为曲线．
求的方程，并说明轨迹的形状；
设点，若曲线上两动点，均在轴上方，，且与相交于点．
当，时，求证：的值及的周长均为定值；
当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求用，表示；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．
若一个平面图形在旋转变换或反射变换的作用下仍然与原图形重合，就称具有对称性，并记为的一个对称变换例如，正三角形在绕中心作的旋转的作用下仍然与重合如图图所示，所以是的一个对称变换，考虑到变换前后的三个顶点间的对应关系，记；又如，在关于对称轴所在直线的反射的作用下仍然与重合如图图所示，所以也是的一个对称变换，类似地，记记正三角形的所有对称变换构成集合．
一个非空集合对于给定的代数运算来说作成一个群，假如同时满足：
Ⅰ，，；
Ⅱ，，，；
Ⅲ，，；
Ⅳ，，．
对于一个群，称Ⅲ中的为群的单位元，称Ⅳ中的为在群中的逆元．
一个群的一个非空子集叫做的一个子群，假如对于的代数运算来说作成一个群．
直接写出集合用符号语言表示中的元素；
同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如对于集合中的元素，定义一种新运算，规则如下：，．
证明集合对于给定的代数运算来说作成一个群；
已知是群的一个子群，，分别是，的单位元，，，分别是在群，群中的逆元猜想，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
写出群的所有子群．
参考答案
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15.解：，，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：令，，
，
令，，
则，
所以在上单调递增，
当时，，
又，
所以，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，而此时，
所以当时，成立，
当时，可得，，
所以，
又，
所以存在，使得，即，
，，单调递减，
，，单调递增，
，
由可得，，
下面证明，，
令，
，
所以在上单调递增，
，
即得证，即成立，
综上所述，当时，成立．
证明：由，当时，有，即，
令，，得，
，
，
即．
16.解：假定个不尽相异元素的所有排列数有种，在每种排列中，如果把相同的元素，
当成不相同的元素，则个元素的所有排列数可增加为种；
另一方面，个不同的元素的全排列有种，
即．
即得个不尽相异元素的全排列数．
将比赛结果的胜、负、平看作三种元素，按题意，场比赛的结果是五胜三负二平，
即是一个不尽相异元素的全排列，由知，共有种可能情况．
17.解：如图建立空间直角坐标系，
，
设，
，，，，，
，
．
设平面的法向量，
由，得，取，得，
，
解得．
设平面的法向量，
由，得，取，得，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是
证明：是四面体的表面积，，令与面所成角为，
，
，
是公垂线，上的点和上的点的最短距离是，
，取不到等号，
，，

18.解：设点，由题意可知，
即，
经化简，得的方程为，
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．
设点，，，其中，且，，
证明：由可知的方程为，
因为，所以，
因此，，，三点共线，且，
设直线的方程为，联立的方程，得，
则，
由可知，
所以
定值，
由椭圆定义，得，
，，
解得，
同理可得，
所以
．
因为，所以的周长为定值．
当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
根据的证明，同理可得，，三点共线，且，
设直线的方程为，联立的方程，
得，
，
因为，
所以
，
将代入上式，化简得，
由双曲线的定义，得，
根据，解得，
同理根据，解得，
所以
，
由内切圆性质可知，，
当时，常数．
因此，存在常数使得恒成立，且．
19.解析：由题设可知，正三角形的对称变换如下：
绕中心作的旋转变换；绕中心作的旋转变换；
绕中心作的旋转变换；关于对称轴所在直线的反射变换；
关于对称轴所在直线的反射变换；关于对称轴所在直线的反射变换．
综上，形式不唯一
Ⅰ．，，；
Ⅱ，，，
，
所以
；
Ⅲ，
，
而，所以；
Ⅳ，
；
综上可知，集合对于给定的新运算来说能作成一个群．
，，证明如下：
先证明：由于是的子群，取，则，，
根据群的定义，有，，所以，
所以，即，
即，所以．
再证明：由于，，，
所以，所以，
所以，所以．
的所有子群如下：
，
，，
，
．
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