黑龙江省大庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题（含答案）

黑龙江省大庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知上的函数，则“”是“函数为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.记为等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
4.法国当地时间年月日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式“奥林匹克之父”顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，重要的不是凯旋，而是拼搏为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取名男生和名女生的竞赛成绩满分分，按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据：
男生
女生
则下列说法错误的是( )
A. 男生样本数据的分位数是
B. 男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数
C. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变
D. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变
5.已知圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意的，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.某学校足球社团进行传球训练，甲乙丙三名成员为一组，训练内容是从某人开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人现假定每次传球都能被接到，开始传球的人为第一次触球者，记第次触球者是甲的概率为已知甲为本次训练的第一次触球者，即，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点若，则( )
A. 的斜率为 B. 是 锐角三角形
C. 四边形的面积是 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，则的值为 ．
13.已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点若，则椭圆的离心率为 ．
14.已知且，函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月日，国家疾控局会同教育部国家卫生健康委和体育总局制定并发布了中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于毫升，这些学生的肥胖率为；而
每天饮用含糖饮料低于毫升的学生的肥胖率为．
若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；
现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中肥胖的人数，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
如图，在平面四边形中，，是边长为的正三角形，为的中点，将沿折到的位置，．
求证：；
若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
设的内角所对的边分别为，已知．
求；
若的面积为，求的周长．
18.本小题分
已知函数，其中．
证明：当时，；
若时，有极小值，求实数的取值范围；
对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为．
求的方程；
若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设．
求；
记，，求．
参考答案
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13.
14.且
15.解：设“学生每天饮用含糖饮料不低于毫升”为事件，则，
设“学生的肥胖”为事件，则，
由全概率公式可得，
所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为．
由题意可知：，且的可能取值为，，，，则有：
，
，
所以的分布列为
的期望．

16.解：依题意是边长为的正三角形，为的中点，所以，
所以，，，，，
则，所以，又，即，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以；
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，
设直线与平面所成角为，则 ，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：因为，由正弦定理可得，
且，
即，整理可得，
且，则，可得，即，
且，所以．
因为的面积为，则，
又因为，可得，
由正弦定理，可得，
其中为的外接圆半径，
则，即，
可得，则，
由余弦定理可得，
即，解得，
所以的周长为．

18.解：因为，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以当时，．
因为，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为．
令，
则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为．

19.解：依题意设双曲线方程为，
则渐近线方程为，
则，解得，所以的方程为；
当直线中又一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在是，直线与轴重合，不符合题意；
所以直线的 斜率均存在且不为，
设的方程为，，，，，
由，得，
则，所以，，
所以，则，
所以，同理可得，
因为、、三点共线，所以，
又，所以，
因为，所以；
，
所以
，
设，
则，
所以，
所以，
所以，
所以．

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