2.1认识一元二次方程 第一课时 课件(共32张PPT) 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

(共32张PPT)
2.1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1课时 一元二次方程
九年级上册数学（北师版）
复习导入
1. 我们学过的方程有哪些？
一元一次方程
二元一次方程
分式方程
2. 判断下列方程是我们学过的哪类方程？
（1）5x+3 = 8
（2）x + y = 8
（3）
一元一次方程
二元一次方程
分式方程
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程.
2.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程.
想一想：什么是一元二次方程呢？
复习导入
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.
8 m
5 m
你能求出这个宽度吗？
地毯问题
如果设所求的宽为 x m ，
那么地毯的长为 m，
宽为　 m，
根据题意，可得方程：
（ 8－2x ）
（ 5－2x ）
(8－2x )(5－2x ) = 18
(8－2x )(5－2x ) = 18
40 - 16x -10x + 4x2 = 18
2x2 -13x +11 = 0
（去括号）
（移项、合并同类项）
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.
你能求出这个宽度吗？
地毯问题
连续整数问题
观察下面等式：
102＋112＋122 ＝132＋142
　　你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：_______，_______，_______，
_______。
根据题意，可得方程：
x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2
x＋1
x＋2
x＋3
x＋4
x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2
去括号、移项、合并同类项
x2 - 8x -20 = 0
梯子滑动问题
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
7 m
1 m
10 m
6 m
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　m.
6
如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙_______m.
（x＋6）
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2 ＝ 102
72＋(x＋6)2 ＝ 102
去括号、移项、合并同类项
x2 ＋12 x －15 ＝ 0
(8－2x )(5－2x ) = 18
2x2 -13x +11 = 0
x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2
x2 - 8x -20 = 0
72＋(x＋6)2 ＝ 102
x2 ＋12 x －15 ＝ 0
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
议一议
上述三个方程有什么共同特点？
上面的方程都是只含有一个未知数 x 的整式方程，
并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
2x2 - 13x + 11 = 0 ①
x2 - 8x - 20＝0 ②
x2 + 12 x - 15 = 0 ③
1.只含有一个未知数；
2.未知数的最高次数是 2；
3.整式方程．
方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点：
( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18 ①
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 ②
(x + 6)2 + 72 = 102 ③
议一议
一元二次方程
我们把 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式.
ax2
bx
c
二次项
一次项
常数项
a
b
二次项系数
一次项系数
只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0).
其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项.
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
知识要点
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，
当 a ≠ 0， b = 0 时，
ax2＋c = 0，
当 a ≠ 0， c = 0 时，
ax2＋bx = 0，
当 a ≠ 0，b = c =0 时，
ax2 = 0，
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义．
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简为 x2 - 3x + 2 = 0
化简为 -1 = 12x + 9
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；若是，则进一步化简整理再做判断.
总结
典例精析
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3 + x2 = 36
(3) x + 3y = 36
(5) x + 1 = 0

×
×
×
×

×
×
(1) x2 + x = 36
注意：未限定 a ≠ 0
例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？
(1)ax2－x = 2x2
(2) (a－1)x | a |+1－2x－7 = 0.
解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，
所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程.
(2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，
原方程是关于 x 的一元二次方程.
方法总结：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解．
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点 不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax + b = 0 (a ≠ 0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
都是整式方程，且只含有一个未知数
未知数最高次数是 1
未知数最高次数是 2
例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
系数和项均包含前面的符号.
注意
一元二次方程一般式
1. 下列哪些是一元二次方程？
是
不是
是
不是
不是
是
3x + 2 = 5x - 2；
x2 = 0；
(x + 3)(2x - 4) = x2；
3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
x2 = x3 + x2 - 1；
3x2 = 5x - 1.
课堂练习
2. 关于 x 的方程 (k2 1)x2 ＋ 2(k 1)x＋2k＋ 2＝0，
当 k 　　时，是一元二次方程．
当 k 　　时，是一元一次方程．
≠±1
＝ 1
3.填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
4. 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x (cm) 应满足的方程（其中 π 取 3）；
解：由挖去的圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2.
整理，得
根据题意，得
200 cm
150 cm
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是 2.
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
其中(a ≠ 0)是一元二次方程的前提条件
当堂小结
达标检测
根据题意列出一元二次方程: 已知直角三角形的三边长 为连续整数，求它的三边长.
【选自教材P32 随堂练习】
解：设较短边长为 x .
x2 + ( x + 1 )2 = ( x + 2 )2 .
把方程 (3x＋2)2 = 4(x-3)2 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次顶系数和常数项.
【选自教材P32 随堂练习】
解: 化为一般形式为 5x2＋36x－32＝0．
二次项系数为 5，一次项系数为 36，常数项为－32．
根据题意，列出一元二次方程：
（1）有一面积为 54m2 的长方形，将它的一边剪短 5m，
另一边剪短 2 m，恰好变成一个正方形，这个正方形的
边长是多少？
（1）解: 设这个正方形的边长为 x．
(x＋5)(x＋2) ＝ 54，即 x2＋7x－44 ＝ 0．
【选自教材P32 习题2.1 第1题】
（2）解: 设较小数为 x．
x(x＋1) ＋ (x＋1)(x＋2) ＋ x(x＋2) ＝ 242，
即 x2＋2x－80＝0．
根据题意，列出一元二次方程：
（2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为 242，
这三个数分别是多少？
【选自教材P32 习题2.1 第1题】
把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
3x2－5x＋1＝0
3
－5
1
x2 ＋x－8＝0
1
1
－8
－7x2 ＋4＝0
－7
0
4
【选自教材P32 习题2.1 第2题】
从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽 4 尺，竖着比门框高 2 尺，他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
【选自教材P33 习题2.1 第3题】
解： 设竹竿的长为 x 尺，则门的宽度 　为(x－4)尺，长为(x－2)尺，
依题意得方程：
(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
即：x2－12x ＋20 ＝ 0
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
课堂小结
只含有一个未知数 x 的整式方程，
并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
我们把 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式.
课堂小结
ax2
bx
c
二次项
一次项
常数项
a
b
二次项系数
一次项系数