甘肃省定西市渭源一中教育联盟2025届高三上学期暑假开放日教学测试数学试题（含答案）

定西市渭源一中教育联盟2025届高三上学期暑假开放日教学测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知圆台的轴截面为上底为，下底为的等腰梯形，且圆台的母线长为，则圆台的高为( )
A. B. C. D.
4.在数列中，已知，且，则其前项和
值为( )
A. B. C. D.
5.现在流行网约车出行，已知某人习惯在，，三个网约车平台打车，且根据以往经验，在，，三个网约车平台能顺利打到车的概率分别为，，已知此人先选择平台打车，若不能顺利打到车，则进而选择平台，最后选择平台则此人在一次出行中，能顺利打到车的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知，是抛物线：上关于轴对称的两点，是抛物线的准线与轴的交点，若直线与抛物线的另一个交点为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在正方体中，，分别为，上的中点，且，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则或
B. 若，则或
C. 若，则或
D. 若，则向量，夹角的余弦值为
10.刘女士的网店经营坚果类食品，年各月份的收入、支出单位：百元情况的统计如图所示，下列说法中正确的是( )
A. 至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同
B. 支出最高值与支出最低值的比是
C. 第三季度平均收入为元
D. 利润最高的月份是月份和月份
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 当时，；当时，
B. 函数的减区间为，增区间为
C. 函数的值域
D. 恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，的系数是 ．
13.已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则 ．
14.已知双曲线的离心率为，虚轴长为，、为左、右焦点，则焦点到渐近线的距离为 ；设点为：上一点，动点为双曲线左支上一点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，且满足．
求角的大小；
求的最大值．
16.本小题分
设
求函数的单调递增、递减区间；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，且分别为中点．
证明：平面；
求平面与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，点到点与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若点是圆上的一点不在坐标轴上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，且，求直线的方程．
19.本小题分
甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得分，未命中得分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得分，并继续射击；若本次未命中，则得分，并终止射击．
设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变是，求；
甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
由可知，．
所以．
因为，所以．
由已知
．
因为，所以，
所以当，即时，取最大值，
所以的最大值是．

16.，
令，解得或，
当或时，，为增函数，
当时，，为减函数
综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为．
当时，恒成立，
只需使在上最大值小于即可
由知最大值为、端点值中的较大者．
在上最大值为，
，
所以实数的取值范围是

17.
因为分别为的中点，所以，
在直角梯形中，因为，所以，
又因为平面平面，
所以平面；
由平面，平面，得，又，
建立如图空间直角坐标系，设，
则，，
所以，
设平面的法向量为，
则
取，则，即，
设平面的法向量为，
则
取，则，即，
设平面与平面所成角为，
则，
所以．

18.
根据题意可得，即，
整理可得，
因此曲线的方程为；
如下图所示：
设，则，
又点不在坐标轴上，所以且；
因此直线的方程为，直线的方程为，
又直线与椭圆相切与点，
联立整理可得
可得，即，
整理可得，
又，可得；
直线与椭圆相切与点，同理可得，
所以是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，
因此，
再由可得，即；
所以直线的斜率为，
因此直线的方程为．

19.解：设 ，故 ，
所以 ，
故 ；
由知 ，
设乙同学的总得分为随机变量 的所有可能取值为 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
故 ，
即 ，代入 ，
故 ，
设 ，
易知，当 时， ，且 ，
则满足题意的 最小为．

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