湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（含答案）

湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设是虚数单位，则复数的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.甲、乙、丙、丁四个学生站成一排照相，要求学生甲必须站在学生乙的左边两人可以不相邻，则不同的站法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则( )
A. B. C. D.
7.在数学史上，中国古代数学名著周髀算经九章算术孔子经张邱建算经等，对等差级数数列和等比级数数列，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题数阵中，每行的个数依次成等差数列，每列的个数依次成等比数列，若，则这个数和的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对恒成立，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，，满足，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 的图象关于轴对称 B. 方程的解的个数为
C. 在上单调递增 D. 的最小值为
11.已知曲线如图所示过坐标原点，且上的点满足到两个定点，的距离之积为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 周长的最小值为 D. 的面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.直线与圆相交于、两点，则
14.已知函数是减函数，则的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设公比不为的等比数列的前项和为，且．
求的公比
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，．
求；
若点为的中点，且，求的面积．
17.本小题分
已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，两动点，在双曲线上，线段的中点为．
证明：直线的斜率为定值
为坐标原点，若的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱台中，底面为等腰梯形，，，，，．
证明：平面平面；
求该四棱台的体积；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数．
已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；
已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：设数列的公比为，
因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以；
因为，
所以，或，
所以，
所以．
16.解：因为，设，则，，
联立解得，，，
所以．
在中，，，，，
由余弦定理得，解得负值舍去，
所以，，
因为，所以，
所以．

17.解：右焦点的坐标为，的一条渐近线方程为
即，所以．
又，，解得．
所以双曲线的方程为．
设，，则，
两式相减并整理得，．
因为线段的中点为，则．
所以，因为，所以，
所以直线的斜率为定值．
设直线，联立，消去得到．
因为，所以
，．
．
点到直线的距离为．
所以．．
整理得，解得舍去，
又因为，
所以直线的方程为
18.解：取的中点，连接，
因为，
所以，又，
所以，
又，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
因为底面为等腰梯形，
，，
所以，
所以，
所以为直角三角形，为其斜边，
故，
又，平面，，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
过作，垂足为，
因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面，
故为四棱台的高，
由，又，，
所以，
又，故，
所以，
所以，
取的中点，连接，
由，
所以，，
又，
所以梯形的面积为，
由棱台的性质可得梯形与梯形相似，，
所以梯形的面积为，
所以棱台的体积
；
过作，
因为平面，
所以平面，，
如图以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，
所以，，
，，
所以，
，，
设平面的法向量为，
则
所以
取，可得，，
故为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则
所以
取，可得，，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则
，
所以平面与平面夹角的余弦值为 ．

19.解：定义域，，是，
取，，不是，
函数是区间上的增长函数，函数不是；
依题意，，
而，关于的一次函数是增函数，时，
所以得，从而正整数的最小值为；
依题意，，而，
在区间上是递减的，则，不能同在区间上，，
又时，，时，，
若，当时，，不符合要求，
所以，即
因为：当时，，显然成立；
时，，，，；
时，，
综上知，当时，为上的增长函数，
所以实数的取值范围是．

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