湖南省岳阳市第一中学2025届高三上学期第二次检测数学试题（含答案）

湖南省岳阳市第一中学2025届高三上学期第二次检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列满足，则的值为
A. B. C. D.
5.已知函数有三个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在中，角的对边分别为，已知，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
7.函数所有零点的和等于( )
A. B. C. D.
8.设，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则( )
A. 的最小值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
10.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，无极值点
C. ，使在上是减函数
D. ，图象对称中心的横坐标不变
11.对勾函数的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此对勾函数即为双曲线已知为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是( )
A. 渐近线方程为和
B. 的对称轴方程为和
C. ，是函数图象上两动点，为的中点，则直线，的斜率之积为定值
D. 是函数图象上任意一点，过点作切线交渐近线于，两点，则的面积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
13.数列的前项和为，，，则 ．
14.设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则关于此数列公差的论述中，正确的序号有 ．
公差可以为；
公差可以不为；
符合题意的公差有有限个；
符合题意的公差有无限多个．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，角的对边分别为，且
求角的大小；
若，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，为等边三角形，平面平面，为的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为．
求椭圆的标准方程；
记直线、的斜率分别为，证明：为定值．
18.本小题分
设．
求证：直线与曲线相切；
设点在曲线上，点在直线上，求的最小值；
若正实数，满足：对于任意，都有，求的最大值．
19.本小题分
数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为若只取一个数，规定乘积为此数本身，例如：对于数列，当时，时，；
若集合，求当时，的值；
若集合，证明：时集合的与时集合的为了以示区别，用表示有关系式，其中；
对于中集合定义，求用表示．
参考答案
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15.锐角中，，
，
由正弦定理得，
，
又，
，
又，
由正弦定理，
则有，
则
，
因为为锐角三角形
所以，可得，
则，
由正弦函数的图像与性质可得，
即

16.解：因为为正三角形，为中点，
所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
Ⅱ由Ⅰ知，平面．
取中点，连结．
因为底面为矩形，为中点，
所以．
所以，，两两垂直．
分别以，，为轴，轴，轴，建立
空间直角坐标系．
则，，，
所以，．
设平面的法向量，
由得
令，得，．
所以
平面的法向量
设平面与平面夹角大小为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.
由的周长为，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为所以
．
所以椭圆的方程为：．
依题意，直线与轴不重合，
设的方程为：．
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，
由韦达定理得．
又，则

注意到，即：
．

18.
设直线与相切于点，
易知，则斜率，解得，即切点为；
此时切线方程为，即，
所以可得直线是曲线在点处的切线方程；
根据题意，将直线往靠近曲线的方向平移，
当平移到直线与曲线相切时，切点与直线间的距离最近，
设切线方程为，
由可知，当切线斜率为时，切点坐标为，此时切线方程为，
此时，从点向直线作垂线，垂足为，此时取最小值，
即，
所以的最小值为；
若对于任意，都有，即可得恒成立，
令，则，
当时，恒成立，即在上单调递增，
显然当趋近于时，不等式并不恒成立，不合题意；
当时，令，解得，
所以当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以在处取得最小值，
即满足即可，
即，
由可得，
设，则，
令可得，
即时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，
即
所以的最大值为．

19.
时，，
，，．
时，集合的中各乘积由两部分构成，
一部分是乘积中含因数，乘积的其他因数来自集合，故诸乘积和为；
另一部分不含，乘积的所有因数来自集合，故诸乘积的和为．
故．
我们先证明一个性质：
所有非空子集中各元素的乘积和为．
证明：考虑的展开式，该展开式共有项，
每一项均为各因式中选取或后的乘积除去各项均选．
对于的任意非空子集，
该集合中各元素的乘积为的展开式中的某一项：即第个因式选择，，其余的因式选择，
注意到非空子集的个数为，
故的所有非空子集中各元素的乘积均在的展开式中恰好出现一次，
所有非空子集中各元素的乘积和为．
故对于，

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