江苏省常州市金坛第一中学2025届高三上学期开学摸底检测数学试题（含答案）

江苏省常州市金坛第一中学2025届高三上学期开学摸底检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合或，则( )
A. B. C. D.
2.若，则是的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知幂函数且为奇函数，且在区间上递增，则等于( )
A. B. C. 或 D.
5.如图是一个圆台的 侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在中，内角所对的边分别为，，，是的外心，，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则( )
A. 为上的单调递增函数
B. 为奇函数
C. 若函数为正比例函数，则函数在处取极小值
D. 若函数为正比例函数，则函数只有一个非负零点
10.如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，下列命题中真命题是( )
A. 四棱锥的体积恒为定值；
B. 四边形是平行四边形；
C. 当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点至少有两个；
D. 若，则、、三点共线．
11.已知，函数，下列选项正确的有( )
A. 若的最小正周期，则
B. 当时，函数的图象向右平移后得到的图象
C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是
D. 若在区间上有两个零点，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.在本次考试的道单选题中，你前桌的小张同学对其中道题有思路，道题完全没有思路，假设有思路的题能做对的概率为，没有思路的题仅能随机猜，你恰好看到了他一道题的答案，这个答案是正确的概率为 ．
14.设函数，若，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
若与共线，求；
若函数，求函数在区间上的最大值，以及相应的的值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若外接圆的周长为，求周长的取值范围．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，．
若为的中点，证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18.本小题分
在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行局胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是
求中国队以的比分获胜的概率；
求中国队在先失局的前提下获胜的概率；
假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知函数
讨论的单调性
当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围
证明：
参考数据：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
由题意，得．
与共线，，
，
化简，得，
．
由题意，得
．
，，
当，即时，函数取得最大值，
函数在区间上的最大值为，此时的取值为．

16.
因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
因为所以；
因为外接圆的周长为，所以外接圆的直径为，
由正弦定理得，则，
由余弦定理得，
因为，所以，即，
当且仅当时，等号成立，
又因为，所以，则．
故周长的取值范围为；
综上，，周长的取值范围为．

17.
证明：由已知得，取的中点，连接，
由为的中点知，
又，故，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面．
取的中点，连接，建立如图所示的空间坐标系．
，
不妨设，
则，
设平面一个法向量为，
取，则．
设直线与平面所成角为
．
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．

18.
设中国队以：的比分获胜的事件为，因中国队在每一局中获胜的概率都是，故事件的概率为：；
设中国队在先失一局的前提下获胜的事件为，则有两类情况：
中国队连胜局获胜记为事件，则其概率为：；
中国队在到局中胜局，再胜第局获胜记为事件，则其概率为：；
因与是互斥事件，故；
由题意知，则，
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为：．

19.解：的定义域为
．
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
综上可得：当时，在上单调递减
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由题意知关于的不等式在上有解，
即在上有解，
又，由可知时，即，
令，则，
则在上有解，
令，则，
令，得，
所以，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以存在使得，
所以，当或时，，当时，，
所以只需，即时满足题意．
所以的取值范围为，
令，则，所以，
由可知在上单调递增，故，
即，即，
当时，，即，
即，
令，则，，
所以，
故当时，．
即
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