广东省惠州市博罗县杨侨中学、石湾中学两校2025届高三上学期8月联考数学试卷（含答案）

广东省博罗县杨侨中学、石湾中学两校2025届高三上学期8月联考
数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知和的夹角为，且，则( )
A. B. C. D.
3.记为等比数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
4.为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.函数所有零点的和等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.下列说法中，正确的是( )
A. 数据的第百分位数为
B. 已知随机变量服从正态分布，；则
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，，，则
D. 若样本数据的方差为，则数据的方差为
9.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 若是上的增函数，则
B. 当时，函数有两个极值
C. 当时，函数有两零点
D. 当时，在点处的切线与只有唯一个公共点
10.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是( )
A. 曲线的图象关于原点对称
B. 曲线经过个整点横、纵坐标均为整数的点
C. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过
D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则面积为 ．
12.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 ．
13.第届奥运会将于年月日至月日在法国巴黎举行．某田径运动员准备参加米、米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员米比赛未能站上领奖台的概率为，米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为若该运动员在米比赛中站上领奖台，则他在米比赛中也站上领奖台的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
记的内角所对边分别为已知．
求的大小；
若，再从下列条件，条件中任选一个作为已知，求的面积．
条件：；条件：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
15.本小题分
已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
求椭圆 的 标准方程；
直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为求直线的方程．
16.本小题分
如图，是圆的直径，平面面，且．
求证：平面；
若，求直线与面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性
当时，，求实数的取值范围
设，证明：．
18.本小题分
对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和．
求的值：
若，求数列的前项和
对互不相等的质数，证明：，并求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.解：，
由正弦定理知，即．
在中，由，
，
，
，
．
．
若选择条件，由正弦定理，得．
．
又，即．
．
．
若选择条件，由，即．
设．
则．
由，得．
．
．

15.【小问详解】
由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以椭圆的标准方程为．
【小问详解】
设，，
由，得．
则，．
因为线段中点的横坐标为，
所以．
解得，即，经检验符合题意．
所以直线的方程为．

16.【小问详解】
因为平面面，且．，平面面，平面，
所以面，又因为平面，
所以，又因为是圆的直径，所以，
因为平面，
所以平面；
【小问详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，所以，
所以，则，
设平面的法向量为，则
而，设直线与面所成角为，
则，
所以直线与面所成角的正弦值为．

17.解：
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
令对恒成立
又
令，则
若，即，
所以使得当时，有单调递增，矛盾
若，即时，
在上单调递减，
，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
求导易得
令
即，证毕．
18.【小问详解】
因为的所有正因数为，所以，得到．
【小问详解】
因为共有个正因数，它们为，
所以，得到，
所以，
令，则，
由得到，
所以，
故．
【小问详解】
因为是互不相等的质数，则的正因数有个，它们是，
的正因数均为个，分别为和，
的正因数有个，分别为，
所以，
，
因为，所以．

第1页，共1页