山东省部分学校2025届新高三上学期开学联合教学质量检测数学试卷（含答案）

山东省部分学校2025届新高三上学期开学联合教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
3.若非零向量满足，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则( )
A. B. C. D.
5.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
6.的的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.设函数，若对于任意实数在区间上至少个零点，至多有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数有个不同的零点，则的取值可以为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的有( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则或
10.如图，已知二面角 的棱 上有 两点，，，若，则( )
A. 直线与所成角的余弦值为
B. 二面角 的大小为
C. 三棱锥 的体积为
D. 直线与平面 所成角的正弦值为
11.甲箱中有个黄球个绿球，乙箱中有个黄球个绿球这个球除颜色外，大小形状完全相同，先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，记事件，，分别表示事件“取出个黄球”，“取出个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是( )
A. ，是对立事件 B. 事件，相互独立
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮个环节，其中任何一人在每个环节获胜得分，失败得分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为的概率为，“梦队”在比赛中得分不低于分的概率为 ．
13.如图，在四面体中，，，，，则该四面体的外接球体积为 ．
14.已知点是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，的内切圆与轴相切于点，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项为，且满足．
证明：数列为等差数列；
设数列的前项和为，求数列的前项和．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，．
求角；
若中边上中线的长度为，求面积的最大值．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，是的中点，．
证明：平面；
若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
18.本小题分
已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．
求椭圆的方程；
设为椭圆的左顶点，过点的直线叫椭圆于、两点，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程．
设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．
19.本小题分
若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点．
判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：
因为，，
若，则，与矛盾，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列．
由知，
数列的前项和为，
所以，
设数列的前项和为，
当为偶数时，
因为，
所以，
当为奇数时，为偶数．
，
所以

16.解：
由题意知，
由正弦定理得，，
所以，
又因，则，
所以，
因为的内角，所以，
由得，则．
因是中边上中线，
则，
即，所以，
则，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
故，即面积的最大值为．


17.解：
取的中点，连接，与交于点，
在底面矩形中，易知，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，
易知，所以，
由题意可知，
所以，而相交，且平面，
所以平面；
由上可知，，，
以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，则，，
则，取，则，
设，其中，
则，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
则，
解得，即．

18.解：
设，由的垂心为知，
故，化简得，，解得，
又因点在椭圆上，则，
因，故得，解得，
故椭圆的方程为．

如图，由知，，若直线的斜率不存在，
由对称性可得，，不合题意；
若直线 的 斜率为，则的方程为，
由消去得，，
显然，设，则，
于是，
，解得，，
则直线的方程为．
先来证明过椭圆上一点的切线方程为．
由椭圆可得，
当时，，求导可得：，
当时，
切线方程为，
整理为：，
两边同时除以得：．
同理可证：时，切线方程也为．
当时，切线方程为满足．
综上，过椭圆上一点的切线方程为．
依题意，设椭圆上的点，则过点的切线方程为，
即，原点到切线的距离为．
由椭圆的第二定义，，则，同理，
则，
故为定值．

19.解：函数是上的“双中值函数”．
理由如下：
因为，所以 ，
因为，，所以，
令，得，即，解得 ，
因为，
所以是上的“双中值函数”；
因为，所以 ，
因为是上的“双中值函数”，所以 ，
由题意可得 ，
设，则 ，
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数，
故 ，
因为，所以，所以，即的取值范围为；
证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证 ，
设，
则 ，
设，则，
所以在上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减，
因为，所以，即 ，
因为，所以 ，
因为，所以 ，
因为，所以 ，
由可知在上单调递增，所以，即得证．

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