2024-2025学年北京市门头沟区大峪中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市门头沟区大峪中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.复数表示纯虚数，则实数值为( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，与共线，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
6.若两条直线：，：与圆的四个交点能构成正方形，则( )
A. B. C. D.
7.设，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值( )
A. 有且仅有个值 B. 有且仅有个值 C. 有且仅有个值 D. 有无数多个值
9.函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，设是的导函数，则关于的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
10.如图，正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是( )
三棱锥的体积为定值；
且线与平面所成的角的大小不变；
直线与所成的角的大小不变；
．
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是______．
12.展开式的常数项为______．
13.已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于，两点，，的中点横坐标为，则 ______．
14.已知函数的部分图象如图，，则 ______， ______．
15.若函数的图象上存在不同的两点，，坐标满足关系：，则称函数与原点关联给出下列函数：
；
；
；
．
其中与原点关联的所有函数为______填上所有正确答案的序号．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．
求证：平面；
当时，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ试从条件中选出两个作为已知，使得存在且唯一，写出你的选择_____，并以此为依据求的面积注：只需写出一个选定方案即可
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
每年月日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间单位分钟，得到下表：
时间人数类别
性别 男
女
学段 初中
高中
Ⅰ从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率；
Ⅱ从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各脑机抽取人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望；
Ⅲ假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为，写出一个的值，使得结论不要求证明
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，，分别是的左、右顶点，是上异于，的点，的面积的最大值为．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ设为原点，点在直线上，，分别在轴的两侧，且与的面积相等．
求证：直线与直线的斜率之积为定值；
(ⅱ)是否存在点使得≌，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
20.本小题分
设函数，其中是自然对数的底数．
当时，求函数的极值；
若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；
设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
若有穷自然数数列：，，，满足如下两个性质，则称为数列：
，，，，其中，表示，，，，这个数中最大的数；
，，，，其中，表示，，，，这个数中最小的数．
Ⅰ判断：，，，，是否为数列，说明理由；
Ⅱ若：，，，是数列，且，，成等比数列，求；
Ⅲ证明：对任意数列：，，，，存在实数，使得表示不超过的最大整数
参考答案
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16.解：证明：取中点为，连接，，如下图所示：
在中，因为，分别为，的中点，
故，
又，
故，，则四边形为平行四边形，，
又面，面，
故EC面．
过点作延长线的垂线，垂足为，连接，如下图所示：
由可知，，
故平面也即平面，
因为，，
则，
又面，面，
故BC，
又，，面，
故BC面，
又面，则，又，
，，面，
故面，
则即为与平面的夹角，
在中，因为，
则，，
在中，因为，，
则，
又，，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：Ⅰ，
可得，可得，
，
，
，
．
Ⅱ若选择，
，，，
由正弦定理可得，
，
，
．
若选，
，，
，
又，
由正弦定理可得，矛盾，这样的三角形不存在．
若选，
，，，
由余弦定理，可得，解得，，
．
18.解：Ⅰ方法一：女生共有人，
记事件为“从所有调査学生中随机抽取人，女生被抽到”，
事件为“从所有调査学生中随机抽取人，参加体育活动时间在“，
由题意可知，，
因此，
所以从该校随机抽取名学生，
若已知抽到的是女生，
估计该学生参加体育活动时间在的概率为；
方法二：女生共有人，
记事件为“从所有调査学生中随机抽取名学生，
若已知抽到的是女生，
该学生参加体育活动时间在“，
由题意知，从所有调査学生中随机抽取人，抽到女生所包含的基本事件共个，
抽到女生且参加体育活动时间在所包含的基本事件共个，
所以，
所以从该校随机抽取名学生，
若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为；
Ⅱ方法一：的所有可能值为，，，
时间在的学生有人，活动时间在的初中学生有人，
记事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取人，抽到的是初中学生”，
事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取人，抽到的是初中学生”，
由题意知，事件，相互独立，且，
所以，
，
，
所以的分布列为：


故的数学期望；
方法二：的所有可能值为，，，
因为从参加体育活动时间在和的学生中各随机抽取人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为，
故，
所以，
，
，
所以的分布列为：


故的数学期望；
Ⅲ根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：
时间人数类别
性别 男
女
学段 初中
高中
内初中生的总运动时间，内高中生的总运动时间，
则由题，，，，
又，
，
，
由可得，
当，时成立，故的取值范围，
故．
19.解：Ⅰ由题知的最大值为，
，解得，，
所以的方程为：；
Ⅱ设，，则，
证明：由题知，
所以，
即，所以，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
所以；
所以直线与直线的斜率之积为定值；
假设存在点使得≌，因为，，，，所以，
由可知，所以，即，
所以，又，
所以，所以，
整理得，解得，与矛盾，
所以不存在点使得．
20.解：由已知，得，
时，，
令，可得或，
故函数在，上为单调增函数，在上为单调减函数，
所以函数的极大值为，极小值为，
函数的极大值为，极小值为；
解：，
令，
要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足或恒成立，
当且仅当时，，时，，
因为，
所以当且仅当时，，时，，
因为在内有，当且仅当即时取等号，
所以当时，，，此时在单调递增，
当时，，，此时在单调递减，
综上，的取值范围为或．
解：，在上是减函数，
时，；时，，
即．
时，由知在递减，不合题意．
时，由，
不合题意；
时，由知在上是增函数，
故只需，，
而，，
，解得．
故的取值范围为．
21.解：Ⅰ：，，，，不是数列．理由如下：
因为，，
所以．
但，所以不满足性质，故不是数列．
Ⅱ根据数列的定义，可知：，，，满足：
或，或，
若，因为，，成等比数列，所以，
又因为，所以，
当时，由得，
若，因为，，成等比数列，所以，
当时，由得，
与是自然数矛盾，舍去；
当时，由得，
与是自然数矛盾，舍去；
所以，，，
由，，以及，
可知，所以，
由，以及，
可知，
由，，，
以及，
可知，所以；
Ⅲ证明：当时，根据数列的定义，可知或
若，取，则，，结论成立．
若，取，则，，结论成立．
假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为，
即存在数列：，，，对任意实数，存在，使得．
根据假设，数列的前项，，组成的数列是一个数列，
从而存在实数，使得．
所以，
即，
令，，则
令，，则，
若，根据的定义，存在，使得
又，
则
且，所以
若，根据的定义，存在，使得，又，
则，
且，所以
所以
令，则
即
所以
所以，
即，与假设矛盾．
综上，结论成立．
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