2024-2025学年北京师大附属实验中学高三（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京师大附属实验中学高三（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数为纯虚数，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.设，，，且，则( )
A. B.
C. D.
6.已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知正方形的边长为，点满足，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数则“”是“为偶函数”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知以边长为的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
10.若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.抛物线的焦点坐标为 ．
12.若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的值______．
13.如图，在正三棱柱中，是棱上一点，，则三棱锥的体积为 ．
14.设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上．则的渐近线方程是 ；的取值范围是 ．
15.对于数列，令，给出下列四个结论：
若，则；
若，则；
存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；
若对任意的，都有，则有．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，．
求证：平面；
求二面角的大小．
17.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若的面积为，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值．
条件：；条件：；条件：
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图如图，考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表该预测价格与亩产量互不影响．
明年冬小麦统一收购价格单位：元
概率
假设图中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率．
Ⅰ试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率；
Ⅱ设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；
Ⅲ地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由．
19.本小题分
如图，已知椭圆：的一个焦点为，离心率为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为设为原点，射线交椭圆于点当与的面积相等时，求的值．
20.本小题分
已知函数，
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ求证：是的唯一极小值点；
Ⅲ若存在，，满足，求的取值范围．只需写出结论
21.本小题分
若数列：，，，中且对任意的，恒成立，则称数列为“数列”．
若数列，，，为“数列”，写出所有可能的、；
若“数列”：，，，中，，，求的最大值；
设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：，，，，记，其中表示，，，这个数中最大的数，求的最小值．
参考答案
1.
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15.
16.解：证明：因为平面，平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故BC，
又因为，，
所以平面．
由平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
17.解：Ⅰ因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，
又，所以，
又，所以，得到，所以；
Ⅱ选条件：；
由知，，根据正弦定理知，，即，
所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件：；
因为，所以，
又，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，所以．
选条件：；
因为，所以，
由，得到，
又，由知，
所以，
又由正弦定理得，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，所以．
18.解：Ⅰ由频率分布直方图知，亩产量为的频率为，亩产量为的频率为，亩产量为的频率为，
只有当亩产量为，且收购价格为元，才能使得明年每亩冬小麦统一收购总价为元，故所求的概率为．
Ⅱ由亩产量为，，，收购价格为元，元，可知随机变量的所有可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列为


数学期望元．
Ⅲ增产后，小麦的亩产量变为，，，
由Ⅱ可知，的分布列为


数学期望元，
因为元元，
所以从广大种植户的平均收益角度分析，建议农科所推广该项技术改良．
19.解：Ⅰ由题意得，又，则，
，
椭圆的方程为；
Ⅱ由Ⅰ得椭圆的方程为，由题意得直线的方程为，即，
联立直线与椭圆可得，整理得，
设，，由韦达定理得，，
与的面积相等，点和点到直线的距离相等，
又的中点为，则为线段的中点，即四边形是平行四边形，
设，则，即，
，，
又，即，解得．
20.解：Ⅰ 因为，
令，得
因为，所以分
当变化时，，的变化情况如下：
极大值
分
故的单调递增区间为，的单调递减区间为分
Ⅱ证明：，分
设，则
故在是单调递增函数，分
又，故方程只有唯一实根分
当变化时，，的变化情况如下：
极小值
分
故在时取得极小值，即是的唯一极小值点．
Ⅲ分
21.解：时，，所以或；
时，，所以；
时，，无整数解；
所以所有可能的，为，或．
的最大值为，理由如下：
一方面，注意到：．
对任意的，令，则且，故对任意的恒成立．
当，时，注意到，得
即，此时，
即，解得：，故．
另一方面，为使取到等号，所以取，则对任意的，，故数列为“数列”，
此时由式得，
所以，即符合题意． 综上，的最大值为
的最小值为，证明如下：
当时，
一方面：由式，，此时有：
．
即
故
因为，所以，
另一方面，当，，，，，，时，
取，则，，，
且
此时．
综上，的最小值为．
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