2024-2025学年天津一中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津一中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.某校名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了名学生的考试成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 频率分布直方图中的值为
B. 估计这名学生考试成绩的第百分位数为
C. 估计这名学生数学考试成绩的众数为
D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为
5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. ，，，
B. ，
C. ，
D. ，，
6.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称
8.抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于、两点，若的周长为，则( )
A. B. C. D.
9.如图，过圆外一点作圆的切线，，切点分别为，，现将沿折起到，使点在圆所在平面上的射影为圆心，若三棱锥的体积是圆锥体积的则( )
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知是虚数单位，化简的结果为 ．
11.二项式的展开式中含的系数为 ．
12.已知实数，，，则的最小值为 ．
13.袋子中装有个白球，个黑球，个红球，已知若从袋中每次取出球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为，则的值为 ，若从中任取个球，用表示取出球中黑球的个数，则随机变量的数学期望 ．
14.如图，在边长为正方形中，，分别是，的中点，则 ，若，则 ．
15.已知函数，则 ；若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
中，角，，所对的边分别为，，，且．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求函数在点处的切线；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，右焦点为．
求椭圆方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与直线交于点，为等边三角形，求直线的方程．
参考答案
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16.解：Ⅰ由余弦定理，则，
又，所以，即，
由正弦定理可得，因为，
所以，则，又，所以；
Ⅱ因为，所以，
所以，
所以．
17.证明：平面，平面，，，，
，，，∽，
，，，平面，
Ⅱ解：平面，平面，平面，
，，为矩形，，
，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
，；
Ⅲ平面，取平面的法向量为，
则，，
所以二平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：当时，，，
所以，故在点处的切线为，即．
，即在上恒成立，
设，注意到，
，令，
则在为增函数，且，
所以恒成立，即单调递增，
其中，
若，则恒成立，此时单调递增，又，所以恒成立，
即在上恒成立，即结论成立；
若，则，
又，
故由零点存在性定理可知，在内存在，使得，
当时，，所以单调递减，又，
所以当时，，即，不合题意，舍去；
综上：实数取值范围是．
19.解：由题意可得，，解得，
由，，则椭圆的方程为．
当直线为轴时，易得线段的垂直平分线与直线没有交点，故不满足题意；
当所在直线的斜率存在且不为轴时，设该直线方程为，，，
联立，消去可得，
，
所以，，
，
设的中点为，则，设，
由为等边三角形，，，
，
，
所以，解得，所以，
当所在直线的斜率不存在时，将代入可得，
所以，，不满足题意，
综上所述，直线的方程为或．
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