2024-2025学年四川省成都七中高三（上）素养数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年四川省成都七中高三（上）素养数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，且，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知非零平面向量，，那么“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.将个，个，个随机排成一行，则个不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
4.设随机变量服从二项分布，若，则( )
A. B. C. D.
5.设是等差数列的前项和，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆：关于直线：对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.为考察两个变量，的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度( )
A. 很强 B. 很弱 C. 无相关 D. 不确定
8.已知函数，其中，当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本标准差为；骑自行车平均用时，样本方差为假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布则下列说法中正确的是( )
参考数值：随机变量服从正态分布，则，，
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 的最小值是
C. 若，则
D. 的最小正周期是
11.如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点的离心率分别为，，则下列结论正确的是( )
A. ， B. 若，则
C. 若，则的最小值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.展开式中含的项的系数是______．
13.设函数，若有三个零点，则的取值范围是______．
14.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有种颜色可供使用，则不同的染色方法共有______种
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为等差数列的前项和，且．
求数列的通项公式；
若，设的前项和，且对于任意，都有恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
如图，且，，且，且，平面，．
设面与面的交线为，求证：；
证明：
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由．
17.本小题分
近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能某机构在网上随机对人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的，得到如下数据：
青年人 中年人 老年人
对该种有需求
对该种无需求
其中的数据为统计的人数，已知本次被调研的青年人数为．
求，的值．
在犯错误的概率不超过的前提下，对该种的需求，是否与是青年人还是中老年人有关？
参考公式：，其中．
临界值表：
18.本小题分
已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点．
求双曲线的方程；
记直线，的斜率分别为，，证明：是定值；
设为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值．
19.本小题分
麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，的麦克劳林展开式为：，其中表示的阶导数在处的取值，我们称为麦克劳林展开式的第项例如：．
请写出的麦克劳林展开式中的第项与第项；
数学竞赛小组发现的麦克劳林展开式为，这意味着：当时，，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？
当时，若，求整数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设等差数列的公差为，
由且，可得，
解得，
则；
由，
可得的前项和，
由，可得，
由任意，都有恒成立，可得，
则的取值范围是．
16.解：证明：因为，，所以，
又平面，平面，
所以面，又平面，平面平面，
所以；
因为，且，
所以四边形为平行四边形，又，
所以四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，、平面，
所以面，又面，
所以，又，且、平面，
所以面，又面，
所以；
由于，，，平面，，
则以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，
假设线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为．
设，，
则，，解得，
所以线段上存在点，且时，使得直线与平面所成的角的正弦值为．
17.解：由题意知，，化简得，解得，．
根据题意，填写列联表如下：
青年人 中老年人 合计
对该种有需求
对该种无需求
合计
零假设：对该种的需求，是否与是青年人还是中老年人无关，计算，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即对该种的需求，是否与是青年人还是中老年人有关，此推断犯错误的概率不大于，
即在犯错误的概率不超过的前提下，对该种的需求，是否与是青年人还是中老年人有关．
18.解：由双曲线的焦距为，
得，解得，
所以双曲线的方程为．
证明：依题意，设直线的方程为，，，
由，消去并整理得，
由直线与双曲线的右支交于，两点，得可得，
解得，
则，，即，
而，，
所以
为定值．
由知，直线：，直线：，
则点的横坐标为，
于是
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
19.解：因为，，，
所以第项．
证明：设，
，
因为，所以单调递增，
所以，
所以．
当时，成立，得出，的最大整数为．
当时，设，
，
当，，单调递增，则，
所以，又当时，成立，
所以当时．
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