2024-2025学年北京市朝阳区日坛中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区日坛中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，是实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升到，则大约增加了( )
A. B. C. D.
9.如图，在等腰梯形中，，，，点在线段上运动，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.设集合，，，则( )
A. 对任意实数， B. 对任意实数，
C. 当且仅当时， D. 当且仅当时，
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线被圆所截得的弦长为______．
12.能使“”成立的一组，的值可以为______．
13.若对任意正数，不等式都成立，则实数的取值范围为______．
14.已知函数在上是具有单调性，则实数的取值范围______．
15.已知函数，关于此函数的说法正确的序号是
为周期函数；
有对称轴；
为的对称中心；
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调递增区间；
Ⅱ若在区间上的最小值为，求的最大值．
17.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若， 求．
从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
18.本小题分
某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区人数众多随机选取了位患者和位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如表：
患者的检测结果 人数
阳性
阴性
非患者的检测结果 人数
阳性
阴性
Ⅰ从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
Ⅱ从该地区患者中随机选取人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以表示检测结果为阳性的患者人数，利用Ⅰ中所得概率，求的分布列和数学期望；
Ⅲ假设该地区有万人，患病率为从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由．
19.本小题分
已知曲线：，设曲线与轴的交点为、点位于点的上方，直线与曲线交于不同的两点、，直线与直线交于点，求证：、、三点共线．
20.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ当时，若在区间上恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
设集合，若是的子集，把中所有数的和称为的“容量”规定空集的容量为，若的容量为奇偶数，则称为的奇偶子集．
当时，写出的所有奇子集；
求证：当时，的所有奇子集的个数等于偶子集的个数；
当时，求的所有奇子集的容量之和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ
由，求得．
所以的单调递增区间是．
Ⅱ在区间上，
要使得在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，
，，即的最大值为．
17.解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，
又，，
即，
即，
，
又，
．
Ⅱ若选，则在中，由余弦定理，
可得，解得，或舍去，可得．
若选，则，
由正弦定理，可得，解得．
18.解：Ⅰ由题意知，位患者中有位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，
所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，
结果为阳性的概率估计为．
Ⅱ由题意，可知，
，
，
，
，
的分布列为：


．
Ⅲ此人患该疾病的概率未超过．
理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，
那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为，
若某人检测结果为阳性，则他患该疾病的概率为，
此人患该疾病的概率未超过．
19.证明：曲线：，
当时，，
故A，
将直线代入椭圆方程得：，
若与曲线交于不同两点，，
则，解得：，
由韦达定理得： ，
，
设，，，
方程为：，则，
，，
欲证，，三点共线，只需证，共线，
即，
将代入可得等式成立，
则，，三点共线得证．
20.解：Ⅰ函数的定义域为，．
当时，，令，解得，则函数的单调递增区间为，
令，解得，函数单调递减区间为．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
当，令，解得，则函数的单调递减区间为；
令，解得或，则函数的单调递增区间为，；
当时，恒成立，则则函数的单调递增区间为，
当时，，令，解得，则函数的单调递减区间为；
令，解得或，则函数的单调递增区间为，；
Ⅱ由Ⅰ得当时，函数在区间上单调递增，则，故不满足条件，
若，则由Ⅰ知，函数在上单调递增，在单调递减，
，满足条件
当时，由Ⅰ知，函数在，上单调递增，在单调递减，
当时，函数有极小值，极小值为，
若极小值为最小值，在区间上恒成立，则，解得，
若，
则，
即
因为，
综上所述的取值范围为．
21.解：当时，，
则的所有奇子集为，，，；
证明：，所以一定存在奇数，
设奇数，对于的每个奇子集，
当时，取．
当时，取，
则为的偶子集．
反之，亦然．
所以的奇子集与偶子集是一一对应的．
所以的奇子集与偶子集个数相等；
由上可知，的奇子集有个，易得每个元素在奇子集中都出现次，
故奇子集的容量和为．
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