2024年 8月
绵阳南山中学高 2024 级高一上期入学考试试题
数 学
命题人：李良贵 审题人：蔡晓军 宋玉贤
第 I卷、第 II卷共 6页．满分 150 分，考试时间 100分钟．作答时，须将
答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．
第 I卷（选择题，共 50分）
一．选择题：本大题共 10个小题，每小题 5分，共 50分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.我计划通过参加高考进入高等学校(大学)学习，我必须学习的课程是( ).
A. 必修课程与选修课程 B. 选择性必修课程与选修课程
C. 必修课程与选择性必修课程 D.必修课程、选择性必修课程与选修课程
2.下列说法正确的是( ).
A. 我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合
1 2 4 1
C. 数1,0,5, , , , 组成的集合中有7 个元素
3 3 6 9
D. 由不大于 4 的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4
3．如图， BCD 90 , AB / /DE ,则 与 满足( )．
A. 180 B. 90
C. 90 D. 90
C
A B β
C
α
E D A D B
4.在上图Rt ABC中 , AC CB,CD AB于点D,
① BC AC AB CD;②若 BC 2 5, AD 8, 则CD 4; ③图中只有两对相似三
角形. 则以上三个结论中正确的结论有( )个.
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
1 1
5.在实数范围内定义运算*，其法则为： a b ，
a b
则当 a (1 3a) 0时 a=( ).
1 1
A. B. 2 C. D. 2
2 2
6.当 x 0时， ax3 ( ).
A. a ax B. a ax C. a ax D. a ax
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7.若0 x 1，则 x 2
1
、 x 、 x 、 这四个数中( ).
x
A. x 最大， x 2最小 B. x 2最大, x 最小
1 1
C. x 最大， 最小 D. 最大， x 2最小
x x
8.下列命题中正确的是( ).
1 1
A. 若 a b, 则 B. 若 2 2a b, 则 a b
a b
C. 若 a3 b3,则a b D. 若 a b,c d ,则ac bd
9.已知集合 A {x R | x2 3x 2 0}, B {x N | 0 x 6},则满足条件
A C B的集合C 的个数为( ).
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
10.如图 Rt ABC中 C 90 ， BAC 30 ， AB 12，以3 3 为边长的正方形
DEFG 的一边GD 在直线 AB 上，且点 D 与点 A 重合. 现将正方形 DEFG 沿
A B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点 D 与点 B 重合时停止，则
在这个运动过程中，正方形DEFG与 ABC的重合部分的面积 s 与运动时间 t之
间的函数关系图像大致是( ).
s s s s
C
F E
t t t t
G A(D) B O 3 3 9 12 O 9 12 O 9 12 O 3 3 9 12
A B C D
第 II卷（非选择题，共 100分）
二．填空题：本大题共 5个小题，每小题 6分，共 30分
11.等腰 ABC的边长分别是一元二次方程 x2 3x 2=0的两个解，则这个等腰
三角形的周长是 ．
12.已知关于 x 的一元二次不等式 x2 (a 1)x a 0 的解中有且仅有3个正整数
A
解，则实数 a 的取值范围是 ． E
13.如右图, AD是等腰三角形 ABC底边上的高，
B
D C
3
且 tan B , AC 上有一点E，满足 AE : EC 2:3，则 tan ADE .
4
2 x
14.不等式 1的解是 ．
3x 1
15.已知 1 x y 4, 2 x 6y 3,则 z x 8y 的取值范围是 ．
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三．解答题:本大题共 6个小题,共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤
16．（本题共 2个小题，每小题 5分，共 10分）解答下列各题
a 2 a 1 a 4
(1).先化简再求值： 2( ) ，其中 2a 4a 5 0 .
2 2
a 2a a 4a 4 a 2
(2).定义运算max{a,b}：当a b时，max{a,b} a ；当a b时，max{a,b} b．
如max{ 3,2} 2;max{ 3, 3} 3.
①求值max{ 3.14 , }；
k
②已知 y1
1 和 y2 k2x b在同一坐标系中的图象如图所示，
x
k k
若max{ 1 ,k2x b}
1 ，结合图象，直接写出 x 的取值范围.
x x
y
O 1 x
-2
17. （本小题满分 12 分）
某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 100 元,其成本价为 50 元，因为在
生产过程中.平均每生产一件产品有 30.5m 的污水排出，所以为了净化环境，工
厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施.
方案 1：工厂污水先净化处理再排出 每处理 3. 1m 污水所用原料费为 4 元，并且
每月排污设备损耗费为 60000 元.
方案 2：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理 31m 污水需付 28 元处理费用.
(1)设工厂每月生产 x 件产品，每月利润为 y 元，分别求出依方案 1 和方案 2 处
理污水时， y 与 x 的函数关系式.
(2)设工厂每月生产量为 6000 件时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金
的前提下应选用哪种处理污水的方案？请你通过计算加以说明.
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18．（本小题满分 12 分）
为了解我校学生完成《2024级高一新生入学手册》情况，随机抽查了若干名学
生进行检查，然后把检查结果分为 4 个等级： A、B、C、D，并将统计结果绘
制成下面两幅不完整的统计图.
请根据图中的信息解答下列问题
(1)补全条形统计图
(2)年级共有2800人，估计全年级完成手册情况为D等的人数为__________人；
(3)在此次检查中，有甲、乙、丙、丁、戊五个同学的作业完成的相当完整，现
决定从这五个同学中随机选取两个同学的作业用展板展出供全年级同学学习.
请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、丁两个同学作业展出的概率.
人数
25
20 D C
14
15 12
10 A B 40%
4 28%
5
O A B C D 等级
19．（本小题满分 12 分）
(1)如图 1，在四边形 ABCD中，点 P 为 AB 上一点， DPC A B 90 ，
则 DAP∽ PBC，所以有结论 AD BC AP BP．如图 2，在四边形 ABCD中，
点 P 为 AB 上一点，当 DPC A B 45 时，上述结论 AD BC AP BP是
否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，试举一反例说明．
(2)如图 3，在 ABD 中，AB 8，AD BD 5，点 P 以每秒1个单位长度的速
度，由点 A出发，沿边 AB 向点 B 运动，且满足 DPC A，设点 P 的运动时
间为 t（秒），当以 D为圆心，以DC 为半径的圆恰好与 AB 相切时，求 t的值．
C
C
D D D
C
A P B A P B A P B
图1 图2 图3
第 4 页共 6 页
20．（本小题满分 12 分）
我市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个
销售旺季的80天里，销售单价 p (元/千克)与时间第 t (天)之间的函数关系为：
1
t 18 (1 t 40) 4
p ， t为整数.
1 t 48 (41 t 80)
2
日销售量m (千克)与时间第 t (天)之间的函数关系如图所示：
m(千克)
190 A(1,190)
32 B(80,32)
t(天)
O 1 80
(1)求日销售量m 与时间 t的函数关系式？并注明 t的取值范围.
(2)哪一天的日销售利润 y 最大？最大利润是多少？
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于 2280元？
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21．（本小题满分 12 分）
5 11
如图，直线 2y x 3与抛物线 y ax bx 8 (a 0) 相交于 A(1, 4)和B( , )，
2 2
点 P 是线段 AB 上异于 A、B的动点，过点 P 作PD x轴交 x 轴于点D，交抛物
线于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的 P 点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；
若不存在，请说明理由；
(3)求 PAC为直角三角形时点 P 的坐标．
y
B
P
A
C
y = x+3
x
O D
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绵阳南山中学高 2024级高一上期入学考试数学答案
一．选择题：本大题共 10个小题，每小题 5分，共 50分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C A B D C A A
二．填空题：本大题共 5个小题，每小题 6分，共 30分
8 1 1
11. 5； 12. 3 a 4；13. ； 14. x ； 15. 5 z 10.
9 3 4
13.不妨设 BD 4 ,则 AD 3, AB AC 5, AE 2, EC 3,
A
法一：过点 A 作 AG / /DC 交 DE 的延长线于G, G
F E
AE AG 8 8
由 AEG CED得 AG ; tan ADE .
CE CD 3 9 B D C
法二：过点 E 作 EF AD 交 AD 于点 F ,
2 EF 8 3 DF 9 8
由 AEF ACD得 EF ; DF ; tan ADE .
5 4 5 5 3 5 9
4x 1 1 1
14. 0, 3x 1 0且 (4x 1)(3x+1) 0， x
3x 1 3 4
15. z x 8y 2(x y) (x 6y), 5 z 10.
三．解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（本题共 2个小题，每小题 5分，共 10分）
a 2 a 1 a 4 a 4 a 2 1
(1). ( )
a2 2a 2 2a 4a 4 a 2 a(a 2) a 4 a(a 2)
2 5 2
又 2a 4a 5 0，所以 a2 2a a(a 2) ,故原式 . ………..…………………5 分
2 5
(2).① 3.14 , 3.14， max{ 3.14 , } 3.14.
②结合图象，直接写出 x 的取值范围是： 2 x 0或 x 1. ………………10 分
17.（本小题满分 12分）
(1)设选用方案 1，每月利润为 y 元，选用方案 2，每月利润为 y 元 1 2
由方案 1，得 y1 (100 50)x 4 0.5x 60000 48 x 60000 ；
由方案 2，得 y (100 50)x 28 0.5x 36 x ………………………….……6 分 2
(2)当 x 6000时， y （元）； （元）； 1 48 6000 60000 22800 y2 36 6000 21600
y y , 我作为厂长，应选用方案 1 …………….……12 分 1 2
18．（本小题满分 12分）
(1)因为总人数为14 28% 50人；所以 B 等人数为50 40% 20人.补全条形统计图如下：
人数
25
20
20
14
15 12
10
4
5
O A B C D 等级
………..…………………….…4 分
4
(2)年级共有 2800人,估计全年级完成手册情况为 D 等的人数为 2800 224人. …8 分
50
答案第 1 页共 4 页
(3)画树状图：
甲 乙 丙 丁 戊
乙 丙 丁 戊 甲 丙 丁 戊 甲 乙 丁 戊 甲 乙 丙 戊 甲 乙 丙 丁
共有 20种等可能的结果数，其中恰好选到甲、丁两个同学作业展出的情况占 2种，所以恰
2 1
好选到甲、丁两个同学作业展出的概率是 ． ……………………….……12 分
20 10
C
19．（本小题满分 12分） D
(1)结论 AD BC AP BP 仍然成立．
理由：如图，
A P B
BPD DPC BPC, BPD A ADP , DPC BPC A ADP
AD AP
DPC A B 45 , BPC ADP , ADP∽ BPC, .
BP BC
AD BC AP BP ……………………………………………………….……………6 分
(2)如图，过点 D 作 DH AB 交 AB 于点H ．
AD BD 5, AB 8， AH HB 4．由勾股定理可得DH 3． D
以点 D 为圆心 , DC 为半径的圆与 AB 相切, DC DH 3, CB 2. C
又 AD BD, A B， DPC A B，
A P BH
DPC CPB B CPB 即 DPB DCP, APD BCP
AD AP 5 t
ADP∽ BPC, ，即 ， t2 8t 10 0, t 4 6 或 t 4 6 .
BP BC 8 t 2
故 t 的值为 4 6 或 4 6 . …………..………………………………..………12 分
20．（本小题满分 12分）
k b 190 k 2
(1)设解析式为m kt b，将 (1,190)、 (80,32) 代入，得： ，解得： ，
80k b 32 b 192
m 2t 192，其中1 t 80， t 是整数. ………………………………4 分
(2)日销售利润 y ，则 y ( p 8)m.
1 1 1
①当1 t 40 时， y ( t 18 8)( 2t 192) t2 28t 1920 (t 28)2 2312，
4 2 2
当 t 28时， y最大 2312；
1
②当 41 t 80时， y ( t 48 8)( 2t 192) t2 176t 7680 (t 88)2 64 ，
2
在 41 t 80时随 t 的增大函数值反而减小 当 t 41时， y最大 2145；
2312 2145， 第 28天的日销售利润最大，最大利润为 2312元． …………………8 分
(3)法一：由（2）知：
2
当 41 t 80时， y (t 88) 64，当 t 41时， y最大 2145 2280；
答案第 2 页共 4 页
1 1
当1 t 40 时， y t2 28t 1920，由 t2 28t 1920 2280得 t2 56t 720 0,
2 2
(t 20)(t 36) 0 , 20 t 36, 又 t 是整数， t 20,21,22, 36 .
故该养殖户有 17天日销售利润不低于 2280元. ……………………12 分
法二：由（2）知：
2
当 41 t 80时， y (t 88) 64，当 t 41时， y最大 2145 2280；
1 1
当1 t 40 时， y (t 28)2 2312，由 (t 28)2 2312 2280 得 t1 20,t2 36.
2 2
1
由函数 y (t 28)2 2312的图象可知,当 20 t 36时, 日销售利润不低于 2280元.
2
又 t 是整数， t 20,21,22, 36 .
故该养殖户有 17天日销售利润不低于 2280元. …………..………..……………12 分
21．（本小题满分 12分）
a b 8 4
5 11
(1) A(1,4)和 B( , ) 在抛物线 y ax2 bx 8 (a 0) 上， 25 5 11即
2 2 a b 8
4 2 2
a b 4 a 2
解得 .
5a 2b 2 b 6
故抛物线的解析式为 y 2x2 6x 8． ………………………….………4 分
5
(2)设动点 P 的坐标为 (m,m 3)，其中1 m ，则C 点的坐标为 (m, 2m2 6m 8) ，
2
PC (m 3) (2m2 6m 8) 2m2
7 9
7m 5 2(m )2 ，
4 8
7 9
当m 时，线段 PC 长的最大值是 .
4 8
7 19 9
故存在这样的 P 点, P( , ), 使线段 PC 的长有最大值. 线段 PC 长的最大值是 .…8 分
4 4 8
(3) PAC 为直角三角形，
i）若点 P 为直角顶点，则 APC 90 ．
由题意易知， PC / / y 轴， APC 45 ，因此点 P 为直角顶点这种情形不存在；
ii）若点 A 为直角顶点，则 PAC 90 ．
如下左图，过点 A(1,4)作 AE x轴交 x 轴于点 E ，则OE 1, AE 4.
过点 A 作 AF AB ，交 x 轴于点 F ，则由题意知 AEF 为等腰直角三角形，
EF AE 4, OF OE EF 5, F(5,0) .
k b 4 k 1
设直线 AF 的解析式为： y kx b ，则 ，解得 ，
5k b 0 b 5
直线 AF 的解析式为： y x 5 ①
答案第 3 页共 4 页
又抛物线的解析式为： y 2x2 6x 8 ②
3
联立①②式，解得： x 或 x 1（与点 A 重合，舍去），
2
3 3
C 点的横坐标为 ，此时点 P 的横坐标也是 .
2 2
3 9
P( , ) 时 PAC 90 ， PAC 是以点 A 为直角顶点的直角三角形.
2 2
y y
B P B
P
A A C
C
y = x+3 y = x+3
x x
O E D F O D
iii）若点C 为直角顶点，则 ACP 90 ．
3 7 3
y 2x2 6x 8 2(x )2 ， 抛物线的对称轴为直线 x ．
2 2 2
3
如上右图，作点 A(1,4)关于对称轴 x 的对称点C ，则点C 在抛物线上，且C(2,4) ．
2
C 点的横坐标为 2 ，此时点 P 的横坐标也是 2 .
P(2,5)时 ACP 90 ， PAC 是以点C 为直角顶点的直角三角形.
3 9
点 P( , )、 P(2,5) 均在线段 AB 上，
2 2
3 9
综上所述， PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为 P( , )或 P(2,5) ．………12 分
2 2
答案第 4 页共 4 页
