新课标人教A版数学：证明数列不等式之放缩技巧

证明数列不等式之放缩技巧
证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强 ( http: / / www.21cnjy.com )，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.
一、利用数列的单调性
例1．证明：当时，.
证法一：令，则,
所以当时，.因此当时，
于是当时，
证法二：可用数学归纳法证.(1)当n = 6时，成立.
(2)假设当时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由(1)、(2)所述，当n≥6时，.
二、借助数列递推关系
例2.已知.证明：.
证明：，
∴.
例3. 已知函数f(x)=，设正项数列满足=l，．
(1) 试比较与的大小，并说明理由；
(2) 设数列满足=－，记Sn=．证明：当n≥2时,Sn＜(2n－1)．
分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。
解：(1) 因为所以
,因为所以与同号，因为，…，即
（2）当时，，
所以，
所以.
例4. 已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足.证明：，.
证明：由得：,
, ,… ,,
以上各式两边分别相加得：，
=，
.
裂项放缩
例5.求证:
解析:因为,所以
又
当时,,当时,,
当时,,所以综上有.
例6.已知,,，求证：
．
证明：由于
．
例7. 已知，数列的首项.
求证：；(2) 求证：时.
证明：⑴ ，∵，∴都大于0，∴，∴.
，∴.故
∵,,又∵，∴.
∴ , ∴.
四、分类放缩
例8.求证:.
证明:当时不等式显然成立.
.
例9. 已知.证明：对任意整数，有.
分析：不等式左边很复杂，要设法对左边的项进行适当放缩，使之能够求和。
而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时，
（2）当是奇数时，为偶数，
.
所以对任意整数，有。
五、利用函数单调性（导数）放缩
例10. 已知函数,数列满足, ; 数列
满足, .求证:
（Ⅰ）（Ⅱ） （Ⅲ）若则当n≥2时,.
分析：第（1）问用数学归纳法证明；第（2）问利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。
证明：(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.
（1）当n=1时,由已知得结论成立；
（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,
因为0又f(x)在上连续,所以f(0)故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.
又由, 得,从而.
综上可知
(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0由,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.
因为,所以,即>0,从而
(Ⅲ) 因为 ,所以, ,
所以 ————①
由(Ⅱ)知:, 所以= ,
因为, n≥2,
所以 <<=————②
由①② 两式可知: .
例11.求证：.
证明:先构造函数有,从而
因为
所以